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Jan
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. März, 2001 - 17:05: | 
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Hi,
ich bräuchte dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Gegeben sind die vier Punkte A (5,-1,0), B (3,3,0), C (-1,5,0), D (1,1,0) und H (1,1,8). Das Viereck ABCD ist die Grundseite eines senkrechten Prismas; das Viereck EFGH ist die Deckfläche.
Die Strecken AE, BF, CG und DH sind die Seitenkanten.
Und nun folgendes:
- Die Seitenfläche ABFE liegt inder Ebene E1. Bestimme die Koordinatengleichung von E1 und zeige, dass E2 durch die Punkte A,C,E eine Symmetrieebene deas Prismas ist.
- Das Teilprisma BCDFGH besizt außer E2 eine weitere Symmetrieebene. Geben Sie deren Gleichung an. Die Eckpunkte des Teilprismas liegen auf einer Kugel. Bestimme die Gleichung dieser Kugel.
Puh. Ich hab da echt null Plan. Für Hilfe, Lösungen und -Wege wäre ich echt dankbar,
Grüße,
Jan |
Georg (Hgs)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. März, 2001 - 00:55: |
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Nur E1 erstmal, denn es ist schon spät.
Bei einem Prisma sind die Seitenkanten parallel und gleich lang, die zugehörigen (freien) Vektoren also gleich :
AE = BF = CG = DH = (1-1,1-1,8-0) ( Spitze minus Fuß ) = (0,0,8)
Die Vektoren AB und BF liegen in der Ebene E1 und sind linear unabhängig, können also als Richtungsvektoren verwendet werden. Zur Koordinatengleichung komme ich aber noch schneller mit einem Normalvektor. Das Kreuzprodukt von AB und BF bietet sich an. AB = (-2,4,0) ( Spitze minus Fuß )
AB x BF = (2,4,0) x (0,0,8) = (4*8-0,0-16,0-0) = (32,-16,0)
Ich benutze (2,-1,0) , weil es nur auf die Richtung ankommt. Als Aufpunkt nehme ich A :
(2,-1,0) ( x - (5,-1,0) ) = 0
2x1 - x2 + 0 - (2,-1,0)(5,-1,0) = 0
2x1 - x2 - (10+1+0) = 0
2x1 - x2 - 11 = 0 |
Georg (Hgs)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. März, 2001 - 12:56: |
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Rechenfehler :
AB x BF = (-2,4,0) x (0,0,8) = (4*8-0,0+16,0-0) = (32,16,0)
Ich benutze (2,1,0) , weil es nur auf die Richtung ankommt. Als Aufpunkt nehme ich A :
(2,1,0) ( x - (5,-1,0) ) = 0
2x1 + x2 + 0 - (2,1,0)(5,-1,0) = 0
2x1 + x2 - (10-1+0) = 0
2x1 + x2 - 9 = 0
Die Ebene E2 durch A,C,E schneidet die Grundfläche in der Geraden AC und ist parallel zu AE und damit zu allen Seitenkanten. Daher genügt es, AC als Symmetrieachse der Grundfläche nachzuweisen. Es verbleibt ein 2-dimensionales Problem in der Grundflächenebene.
Steigung AC = (5+1) / (-1-5) = -1 und
Steigung BD = (1-3) / (1-3) = 1 also negativer Kehrwert der Steigung AC. ==>
Die Geraden AC und BD schneiden sich rechtwinklig.
mit A als Aufpunkt ist die Gerade AC : y = -1(x-5) - 1 = -x + 4
x + y - 4 = 0 Die Länge des Normalvektors = Ö(1+1) = Ö2
Abstand des Punktes B : d = ( 3 + 3 - 4 ) / Ö2= 2/Ö2
Abstand des Punktes D : d = ( 1 + 1 - 4 ) / Ö2 = -2/Ö2
Gleicher Betrag der Abstände, B ist symmetrisch zu D ==> E2 ist Symmetrie-Ebene
Das Teilprisma BCDFGH ist dreiseitig. Also besteht der Verdacht, dass das Dreieck BCD gleichschenklig ist.
Mit der Steigung 1 von oben und B als Aufpunkt Gerade BD : y = x - 3 + 3 ==> y = x
Gerade AC von oben : x + y - 4 = 0
Schnitt x + x - 4 = 0 ==> x = 2 ==> y = 2 ==> S(2,2)
Vektor BS = (2,2) - (3,3) = (-1,-1)
Vektor SD = (1,1) - (2,2) = (-1,-1) = BS ==> Spiegelung ==> Symmetrie-Ebene hat die Spur AC
Die Symmetrie-Ebene ist parallel zu den Seitenkanten, ihre Gleichung analog zur Gleichung der Geraden AC : x1 + x2 - 4 = 0
Kugel durch BCDFGH
Mit dem Vektor DH von oben gilt : F(3,3,8) G(-1,5,8)
Vom Kugelmittelpunkt M müssen alle Punkte die gleiche Entfernung haben.
Aus Symmetriegründen genügt es, die untere Halbkugel zu betrachten. Ihr Mittelpunkt liegt in Höhe 4 über dem Umkreismittelpunkt des Dreiecks BCD . Umkreismittelpunkt U :
BU = CU ==> (BU)² = (CU)² ==> (x-3)² + (y-3)² = (x+1)² + (y-5)²
CU = DU ==> (x+1)² + (y-5)² = (x-1)² + (y-1)²
x² - 6x + 9 + y² - 6y + 9 = x² + 2x + 1 + y² - 10y + 25
x² + 2x + 1 + y² - 10y + 25 = x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1
-6x + 9 - 6y + 9 = 2x + 1 - 10y + 25
2x + 1 - 10y + 25 = -2x + 1 - 2y + 1
9 + 4y + 9 = 8x + 1 + 25
4x + 1 + 25 = 1 + 8y + 1
4y = 8x + 8
4x + 24 = 8y
y = 2x + 2
x + 6 = 2y = 4x + 4 ==> 2 = 3x ==> x = 2/3
y = 4/3 + 2 = 10/3
U(2/3,10/3,0) ==> M(2/3,10/3,4) ==> ( x1 - 2/3 )² + ( x2 - 10/3 )² + ( x3 - 4 )² = r²
Kugelradius r fehlt noch, Rechenfehler sind noch möglich, der Rechengang müsste aber stimmen. |
Jan
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 20:26: |
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Mal sehen, ob ich auf´s selbe komme. Danke schonmal! |
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