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MAYA
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 14:35: | 
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HALLO! ICH WÄRE EUCH SEHR DANKBAR; FALLS IHR DIESE AUFGABE FÜR MICH LÖSEN KÖNNTET!
SCHREIBE MORGEN SCHON DIE MATHEKLAUSUR!!!
hoffe auf schnelle Antwort mit Erklärung,
vielen Dank, MFG,
MAYA
Ein Tetraeder werde durch linear unabhängigen Vektoren a=0A, b=0B, c=0C aufgespannt.
M ist der Mittelpunkt der Strecke (0C), N ist der Mittelpunkt der Strecke (0A) und Punkt S ist festgelegt durch 0S=1/3*(a+b+c).
Punkt R liegt auf der Geraden g(M,B), wobei MR=1/3MB ist.
a) Stellen Sie die Vektoren 0M, MB, 0R, NR, SR in Abhängigkeit von a, b, d dar!
b) In welcher besonderen Lage befindet sich die Strecke (SR)? Begründe!
c) Zeigen Sie, dass sich die Geraden h (O,S) und m (N,R) schneiden!
d) Punkt E liegt auf der Geraden n (A,C), wobei AE=1/3AC gilt. Die Gerade p(O,E) schneidet die Gerade t (N,C) im Punkt T.
Bestimmen Sie TN und TE! |
Georg (Hgs)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 22:47: |
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a) habe ich fertig
OM = ½OC = ½a
MB = OB - OM = b - ½a
OR = OM + MR = OM + (1/3)MB = ½a + (1/3)( b - ½a ) = (1/3)a + (1/3)b
NR = OR - ON = OR - ½OA = (1/3)a + (1/3)b - ½a = -(1/6)a + (1/3)b
SR = OR - OS = (1/3)a + (1/3)b - (1/3)(a+b+c) = (1/3)a + (1/3)b - (1/3)(a+b+c) = - (1/3)c |
Georg (Hgs)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. März, 2001 - 00:03: |
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a) war falsch. Jetzt habe ich fast alles.
OM = ½OC = ½c
MB = OB - OM = b - ½c
OR = OM + MR = OM + (1/3)MB = ½c + (1/3)( b - ½c ) = (1/3)b + (1/3)c
NR = OR - ON = OR - ½OA = (1/3)b + (1/3)c - ½a = -½a + (1/3)b + (1/3)c
SR = OR - OS = (1/3)b + (1/3)c - (1/3)(a+b+c) = - (1/3)a
b)
S ist der Schwerpunkt von ABC . R ist der Schwerpunkt von OBC . Beides, weil der Ortsvektor zum Schwerpunkt immer dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren zu den Ecken entspricht. SR verbindet also die Schwerpunkte zweier Tetraederflächen.
c)
Wenn sich die Geraden in T schneiden, dann ist die folgende Vektorkette geschlossen :
OT + TN + NO = 0 Also existieren die Faktoren x und y :
xOS + yNR - ½OA = 0 ( y ist negativ )
x(1/3)(a+b+c) + y(-½a+(1/3)b+(1/3)c) - ½a = 0
((1/3)x-½y-½)a + ((1/3)x+(1/3)y)b + ((1/3)x+(1/3)y)c = 0
Weil a,b,c linear unabhängig sind, darf es nur die triviale Lösung geben : 0a + 0b + 0c = 0
(1) (1/3)x-½y-½ = 0
(2) (1/3)x+(1/3)y = 0
(3) (1/3)x+(1/3)y = 0 ==> x = -y in (1)
-(1/3)y - ½y - ½ = 0
-(5/6)y = ½
y = -(3/5)
x,y existieren. Die Geraden schneiden sich. |
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