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Vektorraum

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Karina
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 09:48:   Beitrag drucken

Habe folgendes Problem:

Die drei Vektoren a, b, c aus dem Vektorraum V seien linear unabhängig. Berechne x, y, z so, daß die folgende Vektorgleichung gilt:

3(x+z)a + (x+y)b + 2(x+z)c = 2(y-x)a + 2(z-x-2)b + (2+y)c

Hoffe auf schnelle Antwort mit Erklärung. Das würde mir unheimlich helfen. Danke!
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Georg (Hgs)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 11:22:   Beitrag drucken

a, b, c sind Vektoren, alle anderen Skalare.
Weil a, b, c linear unabhängig sind, ist es unmöglich, einen durch die anderen beiden darzustellen. Die Faktoren v' und w' in der Gleichung a = v'b + w'c gibt es also nicht. Für die spätere Anwendung wird die Gleichung meistens noch umgeformt :
a = v'b + w'c | * u wobei u ¹ 0
ua = uv'b + uw'c
ua - uv'b - uw'c = 0 und mit v = -uv' und w = -uw'
ua + vb + wc = 0
Wenn man mit unabhängigen Vektoren eine solche Gleichung aufstellt, dann müssen die Faktoren u, v, w = 0 sein, denn eine andere Lösung kann es für unabhängige Vektoren nicht geben.
Also versucht man, die gegebene Gleichung auf die gleiche Form zu bringen :
3(x+z)a + (x+y)b + 2(x+z)c = 2(y-x)a + 2(z-x-2)b + (2+y)c
3(x+z)a - 2(y-x)a + (x+y)b - 2(z-x-2)b + 2(x+z)c - (2+y)c = 0
(3x+3z-2y+2x)a + (x+y-2z+2x+4)b + (2x+2z-2-y)c = 0
(5x-2y+3z)a + (3x+y-2z+4)b + (2x-y+2z-2)c = 0
(1) 5x - 2y + 3z = 0
(2) 3x + y - 2z + 4 = 0
(3) 2x - y + 2z - 2 = 0
(2)+(3) 5x + 2 = 0 ==> x = -2/5
(1)+2*(2) 11x - z + 8 = 0 mit x = -2/5 folgt -22/5 - z + 40/5 = 0 ==> z = 18/5
Mit (1) -2 - 2y + 54/5 = 0 ==> 44/5 = 2y ==> y = 22/5
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Karina
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 19:32:   Beitrag drucken

Vielen, vielen Dank Georg für Deine Hilfe! Ist eigentlich gar nicht so schwer die Aufgabe, jetzt wo Du sie mir so erklärt hast. Danke!!!!!!!
Karina

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