Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Übung zur geometrischen Denkweise

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Sonstiges » Archiv1 » Übung zur geometrischen Denkweise « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Katharina Stefanie (Idaisy)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 16:30:   Beitrag drucken

Hi Mathegenies,
folgende Aufgabe war gestellt:
Auf der Kurve f(x)=1/3x³- 2x +1 werden die punkte mit den x-Werten x1 = 1 und x2 =3 verbunden. In welchem Kurvenpunkt verläuft die Tangente parallel zu dieser Sekante? Wir haben im Unterricht folgendes Ergebnis erhalten: die Ableitung der Funktion ergab allgemein: f'(x0)=x0²-2 und für den gesuchten Kurvenounkt hatten wir für x1 wurzel aus 13/3 und -wurzel aus 13/3 raus.

dann lautete die Aufgabe: LÖSE DIE AUFGABE ALLGEMEIN FÜR f a(x) = 1/3 x³-ax+1.

Die Lösung war dann diese:

fa(x) = f(x) = (1/3)x³ - ax + 1
x1 = 1 ==> f(x1) = 1/3 - a ==> P1(1|1/3-a)
x2 = 3 ==> f(x2) = 9 - 3a ==> P2(3|9-3a)
m = ( 9-3a - (1/3-a) ) / ( 3-1 ) = ½( 26/3 - 2a ) = 13/3 - a

m = f'(x0) und f'(x) = x² - a ergeben
13/3 - a = x0² - a
x0 = ±(13/3)1/2


Von Megamath wurde mir folgende Zusatzfrage gestellt:.
die gesuchten x-Werte
der Berührungspunkte der Tangenten sind unabhängig
vom Scharparameter a.

Meine Aufgabe lautet :
Wie kann diese Tatsache rein geometrisch (ohne Rechnung) begründet werden ?

Danke für eure Hilfe im Voraus, die Antwort auf die Frage interessiert mich nämlich sehr.

bis bald

Kathi
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

H.R.Moser,megamath.
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 13:39:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Um dieses Problem in den Griff zu bekommen,
müssen wir Anlauf nehmen und zuerst die
entsprechende Frage für eine quadratische Funktion
behandeln

I
Gegeben ist die quadratische Funktion
f(x) = a x ^ 2 + b x ^ 2 + c
Zwei verschiedene x-Werte x1 und x2 sind vorgegeben.
Die Gerade s ist die Sekante, welche die Kurvenpunkte
P1 ( x1 / f(x1) ) und P2 ( x2 / f(x2) ) verbindet.
Gesucht wird ein Punkt Po(xo/yo) auf der Parabel,
in welchem die Tangente t parallel zur Sekante verläuft.
Man zeige insbesondere, dass xo nur von x1 und x2 ,
nicht aber von den Koeffizienten a, b, c der
Funktionsgleichung abhängt.


a) rechnerische Lösung
Die Steigung ms der Sekante ist:
ms = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1) =
[a * ( x2 ^ 2 - x1 ^ 2 ) + b* ( x 2 - x 1 ) ] / ( x2 - x1) =
a*( x2 + x1 ) + b
Die Steigung von t ist
mt = f ' (xo) = 2 * a * xo + b
Aus mt = ms folgt :
xo = ½ * (x1+x2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
a und b haben sich weggehoben, und c spielte von
Anfang an eine Statistenrolle.
Somit gilt für die entsprechenden Punkte auf der x-Achse:
Po ' ( xo / 0) ist der Mittelpunkt der Strecke
P1 ' ( x1 / 0 ) P2 ' ( x2 / 0 ).

b) geometrische Interpretation
Für alle Kegelschnitte gilt der folgende Satz:
Die Mittelpunkte paralleler Sehnen .inklusive die
Berührungspunkte der zu diesen Sehne parallelen
Tangenten liegen auf dem zur Richtung der Sehnen
konjugierten Durchmesser des Kegelschnittes.
Anwendung auf die Parabel.:
Der zu s und t konjugierte Durchmesser der Parabel
ist parallel zur Parabelachse und damit parallel zur y-Achse;
er geht durch den Punkt Po' .

c) Rückgriff auf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung
In der Formel
{F(x+h) - F(x)} / h = F ' ( x + T * h ) berechne man T für
F(x) = x^2 und ermittle den Grenzwert von T für h gegen null
Resultat: T = ½ unabhängig von h !!


Anmerkung
Der rechnerische Teil dieser Aufgabe kommt ,
meistens verkappt, in vielen Prüfungsaufgaben vor.

II.
Analoge Betrachtung für die kubische Funktion
f(x) = a x ^3 + b x + c
a) rechnerische Lösung
Die Steigung ms der Sekante ist:
ms = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1) =
[ a* ( x2 ^ 3 - x1 ^ 3) + b* ( x 2 - x 1 ) ] / ( x2 - x1) =
a* ( x2 ^ 2 + x1 * x2 + x1 ^ 2 ) + b
Die Steigung von t ist
mt = f ' (xo) = 3 * a * xo ^ 2 + b
Aus mt = ms folgt :
xo ^ 2 = 1/3 * ( x1 ^2 + x1* x2 +x2 ^2 )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
a und b haben sich weggehoben, und c spielte von
Anfang an eine Statistenrolle.
Aus Symmetriegründen findet man zwei entgegengesetzt
gleiche Lösungen für xo.

Für x1=0 kommt xo^2 = x2 ^ 2 / 3 also
xo = (plus/minus) x2 / wurzel(3).

b) eine geometrische Interpretation fehlt noch.

c) Rückgriff auf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung
In der Formel
{F(x+h) - F(x)} / h = F ' ( x + T * h ) berechne man T für
F(x) = x ^ 3 und ermittle den Grenzwert von T für h gegen null
Resultat:
T strebt gegen ½ ,wenn x nicht null
Für x = 0 ergibt sich h^2 = 3*T^2*h^2, also T = 1 / wurzel(3) !!

Das wär's !

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page