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Ann-Kathrin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 12:47: | 
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Hallöchen!
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!?
Ich brauche bei dieser Aufgabe unbedingt Hilfe:
a) Diskutiren Sie die Funktionschar zu
fk(x)=(2k)/(e^kx)+(e^-kx) mit k€R>0!
b) Existiert lim (a->unendlich) vom Integral fk ?
C) Begründen Sie mit dem Ergebnis von b), daß sich die Funktionsgraphen zu zwei verschiedenen Funktionen der Schar in mindestens einem Punkt schneiden!
Wäre für jede Hilfe überglücklich! |
Georg (Hgs)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 16:28: |
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f(x) = 2k/ekx + e-kx = 2ke-kx + e-kx = (2k+1)e-kx
also eine e-Funktion von rechts nach links, senkrecht gestreckt ?
Soll das Integral von 0 bis a gehen ?
Wenn das alles stimmt, geht mein Integral gegen (2k+1)/k |
Ann-Kathrin
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. März, 2001 - 16:19: |
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Ich habe keine Ahnung! Ich habe diese Aufgabe wörtlich vom Buch abgeschrieben.
Aber kann mir trozdem jemand helfen?
(die ersten 3 Ableitungen von a),...) |
Georg (Hgs)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. März, 2001 - 23:23: |
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c) fehlt noch !
Mir kam die Funktion etwas umständlich formuliert vor, aber vielleicht sollt ihr die Umformungen lernen, die ich vermisst habe. Die Funktion steht also so im Buch, wie ich sie geschrieben habe, und nicht etwa eine Summe im Nenner ? Dann ist 2k+1 ein simpler Faktor, der erhalten bleibt, e hoch ist seine eigene Ableitung und Nachdifferenzen liefert den Faktor -k :
f'(x) = -k(2k+1)e-kx
f''(x) = k²(2k+1)e-kx
Definitionsmenge = reelle Zahlen wegen ekx > 0 für alle x
Nullstellen f(x) = 0 ==>
(2k+1)e-kx = 0
2k+1 = 0 keine Lösung wegen k>0
waagerechte Tangenten f'(x) = 0 ==>
-k(2k+1)e-kx = 0
-k(2k+1) = 0 keine Lösung wegen k>0
Wendepunkte ebenfalls keine mit analogem Rechengang
Monotonie ?
f'(x) = -k(2k+1)e-kx < 0 wegen k>0
Also streng monoton fallend
Krümmung ?
f''(x) = k²(2k+1)e-kx > 0 wegen k>0
Also immer links gekrümmt
Verhalten im Unendlichen
f(x) --> 0 für x --> +¥ Eigenschaft der e-Funktion
Also ist die x-Achse rechts Asymptote
f(x) --> +¥ für x --> -¥
f(0) = 2k+1 ==> Schnittpunkt mit der y-Achse (0|2k+1)
b)
Die Sache mit dem Integral
Die Stammfunktion lässt sich erraten :
f''(x) = k²(2k+1)e-kx
f'(x) = -k(2k+1)e-kx
f(x) = (2k+1)e-kx
F(x) = (-(2k+1)/k)e-kx Probe F'(x) = (2k+1)e-kx hat geklappt
Was mich aber wirklich stört ist, dass nirgendwo gesagt ist, was a sein soll ??? Komisches Buch. Nehmen wir also an, dass a die rechte Grenze sein soll. Dann fehlt immer noch die linke Grenze. Ich nenne sie l und probiere also folgendes Integral :
òl af(x)dx = [F(x)] von l bis a = [(-(2k+1)/k)e-kx] von l bis a
= (-(2k+1)/k)e-ka - (-(2k+1)/k)e-kl
= (-(2k+1)/k)(e-ka - e-kl)
= ((2k+1)/k)(e-kl - e-ka) --> = ((2k+1)/k)e-kl für a-->+¥
Der Grenzwert des Integrals existiert also, die Antwort lautet Ja.
zu c) fällt mir erst einmal nichts ein |
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