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Beitrag |
    
Andi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 19:46: | 
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hallo ihr Profis ,
brauche dringend eure Hilfe
Ich habe folgendes Problem:
Gegeben: e^(-x) im Intervall [a;b].
Gesucht: Flächeninhalt (bei den Berechnungen müssen die Treppenpolygone der Ober- und (oder)Untersumme und Grenzwertbildung benutzt werden).
Ich habe kein Plan wie ich das jetzt anstellen soll.
Bitte möglichst schnell.
Wäre super wenn jemand helfen könnte.
Danke. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 20:52: |
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Hi Andi
Nehmen wir die Untersumme Su:
Das Intervall [a;b] wird in n Stücke zerteilt,
so dass die n x-Werte a,a+1/n*(b-a),a+2/n*(b-a),...,
a+n/n*(b-a)=b entstehen.
Da e^(-x) streng monoton fällt, erhalten wir die Untersumme (...zeichnen !):
Su=Summe von i=1 bis n { (b-a)/n*e^(-(a+i/n*(b-a))) }
Dabei ist (b-a)/n die Breite jedes Rechtecks und e^(-(a+i/n*(b-a))) die Höhe; jedes Rechtexk liegt unterhalb von e^(-x) und hat die rechte obere Ecke auf e^(-x).
Da (b-a)/n für alle Summanden gleich ist und da
e^(-(a+i/n*(b-a)))=e^(-a)*e^(-i/n*(b-a)) gilt, erhält man
Su=(b-a)/n*e^(-a)* Summe von i=1 bis n { e^(-i/n)*(b-a)) }
Jetzt berechnen wir erstmal die Summe von i=1 bis n { e^(-i/n)*(b-a)) }:
wir schreiben um in
Summe von i=1 bis n { [e^(-(b-a)/n)]^i }
und definieren q:=e^(-(b-a)/n)
Dann gilt die Formel
Summe von i=1 bis n { q^i }=(q^(n+1)-q)/(q-1)
Wenn man x:=(b-a)/n setzt, erhält man den komplizierten Ausdruck
Su=x*e^(-a)*(q*(q^(-x))^n-q^(-x))/(q^(-x)-1),
wobei immerhin (q^(-x))^n=e^(-(b-a)) gilt:
Su=e^(-a)*(q*e^(-(b-a))-q^(-x))*x/((q^(-x)-1)
Jetzt kommt der Grenzübergang n--->00 (unendlich)
beziehungsweise x---> 0:
Für den zweiten Teil gilt mit der Regel von de'L Hospital: x/((q^(-x)-1)---->-1
Der erste Teil e^(-a)*(q*e^(-(b-a))-q^(-x)) geht wegen q^(-x)--->1 und q=e^(-(b-a)/n)---->1
gegen e^(-a)*(e^(-(b-a))-1)=e^(-b)-e^(-a)
Insgesamt gilt also Su-----> e^(-b)-e^(-a)*(-1)=e^(-a)-e^(-b)
cu |
Andi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 14:21: |
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Hallo Inexp ,
erstmal danke für deine Hilfe.
Leider kann ich nicht alles aus deinen Berechnungen verstehen.
1. Bist du sicher dass, die Formel:
Summe von i=1 bis n { q^i }=(q^(n+1)-q)/(q-1)
richtig ist ich kenne nur:
Summe von i=1 bis n { q^i }=(q^(n+1)-1)/(q-1) .
2. Wie folgendes zu Stande kommt verstehe ich auch nicht ganz:
Su=x*e^(-a)*(q*(q^(-x))^n-q^(-x))/(q^(-x)-1).
Bitte etwas ausführlicher,wenn es geht.Danke.
Tut mir leid dass ich dich mit solchen Kleinigkeiten nerven muss.
cu |
lnexp
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 02:55: |
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Su=(b-a)/n*e^(-a)* Summe von i=1 bis n { e^(-i/n)*(b-a)) }
war das noch klar ? |
Andi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. März, 2001 - 14:34: |
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Schon gut ich ich habe mein Hirn zwar fast kaputt gedacht aber ich habe es verstanden. Danke für deine Hilfe, hast mir sehr geholfen.
cu |
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