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Frank (Norg)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 16:39: | 
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Ich habe eine Frage zur Definition der zweiten Ableitung bei der Parameterdarstellung.
Die erste Ableitung ist doch definfiert als:
dy/dx = y'(t)/x'(t)
Also müßte doch -so sagte es auch mein Lehrer- die zweite Ableitung, als Ableitung der ersten Ableitung, sein:
(Quotientenregel)
d2y/dx2 = (x'(t)y''(t) - x''(t)*y'(t))/x'(t)2
In meiner Formelsammlung steht aber dort im Nenner nicht
x'(t)2, sondern x'(t)3.
Ich habe das zunächst für einen Druckfehler gehalten, aber nachdem ich mir die Definition der
Krümmung für Parameterdarstellung angesehen habe scheint mir dies einleuchtender.
Meine Frage also, was ist richtig?
Für die Berechnung von Wendepunkten macht dies zwar keinen großen Unterschied, trotzdem würde ich gern wissen, welche der beiden, und vor allem warum, gilt.
MfG Frank. |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 17:59: |
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Es gilt die Darstellung mit x'(t)3.
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
d²y/dx²=dy'/dx=d((dy/dt)/(dx/dt))/dx=(d((dy/dt)/(dx/dt))/dt)/(dx/dt)=(d(y'/x')/dt)/(x')=((x'*y''-x''*y')/(x'²))/(x')=(x'*y''-x''*y')/x'³
Die 3. Potenz rührt also von der Differenzierung des neu hinzugekommenen dx zum schon vorhandenen dx im Nenner, bzw. von der Umwandlung des Differentials dx in die Ableitung dx/dt.
Da alle Funktionen in Abhängigkeit von t sind habe ich darauf verzichtet, das immer dazuzuschreiben. |
Frank (Norg)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 16:15: |
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Danke, du hast mir sehr geholfen.
MfG Frank. |
AlexT
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 20:36: |
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HI Thomas Preu !!!
Sag mal ich hab das mit der 2. Ableitung nicht richtig verstanden. Liegt vielleicht auch an der Schreibweise, kannst das nochmal bitte aufschreiben, vielleicht vbersteh ich das dann.
Von vornherein ne frage, wieso is denn d^2y/dx^2= dy'/dx und nich dy'/dx' ??? |
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