| Autor |
Beitrag |
    
Sebastian (Jeyp)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 17:01: | 
|
Gegeben ist die Funktion fk durch y=fk(x)=2*e^-kx
(x Element R)
a) Untersuchen die für die Funktion f1 das Monotonieverhalten und das Verhalten im Unendlichen.
b) Durch den Graph der Funktion f1, die y-Achse, die x-Achse und die Gerade x=a (a>0) wird eine Fläche vollständig begrenzt. Berechnen sie deren Flächeninhalt A in Abhängigkeit von a sowie dessen Grenzwert für a®¥.
Für welchen Wert a beträgt der Flächeninhalt 1 FE?
c) Die Fläche zwischen dem Graph jeder der Funktionen fk(k>0) im Intervall [0;1/k] und der x-Achse rotiere jeweils um die x-Achse. Berechnen sie das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von k. Für welchen Wert von k beträgt das Volumen 4 VE?
Bitte helft mir! Brauche dringend Lösung und Lösungsweg dieser Aufgaben!
Danke!!! |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 09:43: |
|
Dann man los (Rechenfehler schließe ich aber nicht aus):
f(x)=f1(x)=2e^(-x)
a)sei h>0. Dann ist
f(x+h)=2e^(-x-h)=2e^(-x)e^(-h) < 2e^(-x)=f(x), da e^(-h)<1 => monoton fallend
x gegen +Unendlich: lim 2e^(-x) = 2*0 = 0
x gegen -Unendlich: lim 2e^(-x) = 2*Unendlich = unendlich
b) Die Fläche ist das Integral der Funktion in den Grenzen 0 bis a
I[2e^(-x)]dx = -2e^(-x)+c
=> A=-2[e^(-a)-e^0]=-2[e^(-a)-1]=2[1-e^(-a)]
a gegen +Unendlich: lim 2[1-e^(-a)] = 2[1-0] = 2
A=2[1-e^(-a)]=1 <=> 1-e^(-a)=1/2 <=> e^(-a)=1/2 <=> -a=ln 1/2 <=> a = -ln 1/2
c) Das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse ist pi mal dem Integral der Funktion zum Quadrat in den Grenzen a=0 bis b=1/k
f²(x)=[2e^(-kx)]²=4e^(-2kx)
I[f²(x)]dx=I[4e^(-2kx)]dx=4/(-2k)*e^(-2kx)+c=-2/k*e^(-2kx)+c
=> V=-2/k*pi*[e^(-2k+1/k)-e^0]=-2/k*pi*[e^(-2)-1]=2/k*pi*[1-e^(-2)]
V=2/k*pi*[1-e^(-2)]=4 => k=2/4*pi*[1-e^(-2)]=1/2*pi*[1-e^(-2)] |
Sebastian (Jeyp)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 16:10: |
|
Thx, hast mir sehr geholfen! |
|
