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Trig. Funkt.-Schar. Flächenberechnung...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Abitur » Analysis » Trig. Funkt.-Schar. Flächenberechnung « Zurück Vor »

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Daniel Impala (Mephist)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 16:51:   Beitrag drucken

hi leute!
ich hab hier gerade ein dickes problem...also es ist die funktionsschar:
g(x)=(1/k)*sin(3*x)
gegeben.
Die Normalen in den Wendepunkten des Graphen von g schliessen ja mit demgraphen von g flächenstücke ein. jetzt soll man berechen für welche k diese einen minimalen flächeninhalt haben.
ich bekomme immer verschiedene und falsche ergebenisse heraus. ich muss ja nur die WP berechen. dann dienormale. und dann das integral vom graphen und dem integral der normale substitueren...dies ist die funktion, der "extremwertaufgabe", so dass ich davon die erste ableitung mache, dann gleich NULL setze und zwei werte fuer k rauskeige (max und min.). KLAPPT ABER NICHT SO GANZ BEI MIR...kann mir bitte jemand zeigen wie das geht?! mit rechendweg, aber auch erklärenm, was gemeint ist. wäre optimal!
Vielen dank im voraus,
daniel
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Curious (Curious)
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 10:41:   Beitrag drucken

Hm, dein Weg sieht gar nicht falsch aus (wenn ich alles richtig interpretiert habe).

Wendepunkte
g(x)=(1/k)*sin(3x)
g'(x)=(3/k)*cos(3x)
g"(x)=(-9/k)*sin(3x)=0 <=> sin(3x)=0 <=> x=n*pi/3
g(n*pi/3)=(1/k)*sin(n*pi)=0
Die Wendepunkte sind (n*pi;0)
Ich betrachte nur die erste Fläche: x1=0, x2=pi/3

Berechnung der Normalen (y-y0) = (-1/g'(x0))*(x-x0)
g'(0)=3/k also n1(x) = y = (-k/3)*x
g'(pi/3)=-3/k also n2(x) = y = (k/3)*(x-pi/3) = (k/3)*x - k*pi/9

Nun zur Fläche im Bereich 0 bis pi/3
In diesem Bereich ist g(x) größer gleich 0 und die Normalen liefern Werte kleiner gleich 0.
Die Fläche läßt sich also entlang der x-Achse in zwei Teilflächen zerlegen.

Die erste Teilfläche berechnet sich aus dem Integral von g(x)
I[g(x)]dx=I[(1/k)*sin(3x)]dx=(-1/(3k))*cos(3x)+c
=> A1 = (-1/(3k))*[-1-1] = 2/(3k)

Wenn man mit Integralen an die Berechnung der zweiten Teilfläche geht, so ist zu bedenken, daß sich die beiden Normalen im Bereich 0 bis pi/3 schneiden. Mit
n1(x)-n2(x)= (-k/3)*x - (k/3)*x + k*pi/9 = 0 folgt x = k*pi/9 * 3/(2k) = pi/6
n1(pi/6)=(-k/3)*(pi/6) = -k*pi/18
Der Schnittpunkt liegt also bei (pi/6;-k*pi/18)

Damit wäre n1 im Bereich von 0 bis pi/6 und n2 im Bereich von pi/6 bis pi/3 zu integrieren.
Die Fläche wäre der Betrag der Summe.

Man kann es sich mit ein wenig Argumentation aber auch leichter machen :-)
Die x-Achse und die beiden Nomalen bilden ein Dreieck mit der Grundseite pi/3 und der Höhe k*pi/18.
Die 2.Teilfläche ist danach A2=1/2 * pi/3 * k*pi/18 = k*pi²/108

=> A=A1+A2=2/(3k) + k*pi²/108

Extremwerte
A'(k) = -2/(3k²) + pi²/108 = 0
=> k² * pi²/108 = 2/3 <=> k² = 72/pi² => k1=6*wurzel(2)/pi, k2=-6*wurzel(2)/pi

A"(k)= 4/(3k³)
A"(k1)>0 => Minimum : A(k1) = 2/3 * pi/(6W(2)) + 6W(2)/pi * pi²/108 = wurzel(2)/9 * pi ist minimale Fläche

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