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Beitrag |
    
Elli
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 14:41: | 
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Gibt bestimmt jemanden für den das ganz einfach ist:
Fk(x)=k²x³-6kx²+9x; x Element R, k>0
Ihr Graf soll Gk sein.
- Bestimmung der Koordinaten der Schnittpunkte
von Gk
Mit der x-Achse.
- Gk auf Extrem- und Wendepunkte untersuchen.
- Zeigen, dass alle Wendetangenten zueinander
parallel sind.
Bitte an meine e-mail Bajuschkye@gmx.de
Danke danke danke |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 11:34: |
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Hallo Elli,
Hier die Lösung zu deiner Aufgabe (aber Rechenfehler schließe ich nicht aus)
1. Die Nullstellen
fk(x)=k²x³-6kx²+9x=x(k²x²-2*3*kx+3²)=x(kx-3)²
x1=0, x2,3=3/k
2. Extremwerte und Wendepunkte
f'k(x)=3k²x²-12kx+9
f"k(x)=6k²x-12k
f'"k(x)=6k² ist ungleich Null für jedes x
0=f'k(x)=3k²x²-12kx+9=3(k²x²-4kx+3)=3(k²x²-4kx+4-1)=3[(kx-2)²-1]=3(kx-2-1)(kx-2+1)=3(kx-3)(kx-1)
für x1=3/k ist
f"k(3/k)=6k²*3/k-12k=18k-12k=6k>0 => Min.
fk(3/k)=0
(3/k;0) ist Minimum
für x2=1/k ist
f"k(1/k)=6k²*1/k-12k=6k-12k=-6k<0 => Max.
fk(1/k)=k²/k³-6k/k²+9/k=(1-6+9)/k=4/k
(1/k;4/k) ist Maximum
0=f"k(x)=6k²x-12k => x1=12k / 6k²=2/k
fk(2/k)=k²*8/k³-6k*4/k²+9*2/k=(8-24-18)/k=2/k
(2/k;2/k) ist Wendepunkt
3. Wendetangenten
Die Tangentengleichung für einen Punkt (xo;yo) ist y = f'(xo)(x-xo) + yo.
f'k(2/k)=3k²*4/k²-12k*2/k+9=12-24+9=-3
y = -3(x-2/k) + 2/k = -3x + 6/k + 2/k = -3x + 8/k
Die Steigung der Tangenten in den Wendepunkten ist unabhängig von k.
Also liegen sie parallel zueinander. |
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