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jackayva
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 14:13: | 
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Kann mir einer mal ganz allgemein erklären, wie ich vorgehen muss, wenn die Fläche zwischen einem Funktion und Tangente gesucht ist? |
Guido
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 13:27: |
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Ja.
Die Funktionsgleichung f(x) kennst Du sicher aus der Aufgabenstellung. Die Tangente g(x) ist eine Gerade. Deren Funktionsgleichung muß in vielen Fällen bestimmt werden. Weißt Du wie man das macht? Steigung ist die Ableitung im Berührpunkt .... und Berührpunkt ist gegeben normalerweise ... damit ist g(x) einfeutig definiert.
Dann berechnest Du die Fläche folgendermaßen:
ò f(x)-g(x)
Beachte aber noch die Integrationsgrenzen und ob evtl. Nullstellen zwischendrin vorkommen.
Wenn was negatives rauskommt, nimm den Betrag.
Ok?
Im Archiv findest Du sehr viele Beispiele dazu.
Im Online-Mathebuch sowieso zu allem etwas.
Guido |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 13:52: |
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Hm, ganz allgemein ist das gar nicht so einfach.
Wenn eine Funktion f(x) gegeben ist, so ist die Tangente in einem Punkt (xo,f(xo))
t(x) = f'(xo)(x-xo)+f(xo).
Jetzt mußt du die Funktion g(x)=f(x)-t(x) betrachten.
g(x)=f(x)-f'(xo)(x-xo)-f(xo)
Weil die Tangente ja nur einen Schnittpunkt mit dem Funktionsgraphen hat, kann g(x) auch nur eine Nullstelle haben und zwar xo:
g(xo)=f(xo)-f'(xo)(xo-xo)-f(xo)=0
Tja, und nun kommt es darauf an, in welchen Grenzen die Fläche berechnet werden soll.
Ist es ein Intervall[a,b] mit a<x<b, so ist die Fläche
A=|òa xog(x)dx| + |òxo bg(x)dx|
Liegt x nicht im Intervall [a,b], so ist die Fläche
A=|òa bg(x)dx|
Reicht dir das? |
jackayva
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 14:26: |
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Ja, Danke aber könnt ihr das mit irgendeinem konkreten Beispiel auch zeigen. Das wäre super.
Vielen Dank im voraus. |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 14:42: |
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Ein ganz einfaches Beispiel:
Sei f(x)=x², die Tangente an der Stelle x=1 sei zu bestimmen, die Fläche soll in den Grenzen a=0 bis b=2 bestimmt werden:
f(x)=x²
f(1)=1
Tangente in (1,1) bestimmen
f'(x)=2x
f'(1)=2
t(x)=2(x-1)+1=2x-1
g(x)=f(x)-t(x)=x²-2x+1=(x-1)²
ist eine positive Funktion mit der doppelten Nullstelle 1. Hier kann also über das ganze Intervall integriert werden (eine Aufteilung in die Intervall[0,1] und [1,2] ist nicht notwendig)
òx²-2x+1 dx = 1/3x³-x²+x+c
A= 1/3(8-0)-(4-0)+(2-0) = 8/3-2 = 2/3 |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 17:37: |
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Hallo,
Im Prinzip hat Curious recht.
Zuerst mußt du die Tangentengleichung Aufstellen.
t(x)=f'(x0)*(x-x0)+f(x0)
Danach mußt du die Schnittpunkte zwischen f(x) und t(x) berechnen.
f(x)=t(x) oder f(x)-t(x)=0
Wobei die Differenz f(x)-t(x) als "Differenzfunktion" g(x) bezeichnet wird.
f(x)-t(x)=g(x)=0
Aus den Schnittpunkten gehen die Integralgrenzen (teilweise) hervor.
Sollst du Dabei die Fläche in einem Interval [a;b] betrachte, so gilt es zu prüfen ob die Schnittpunkte im Intervall liegen. ist dies der Fall so muß vdie fläche in einzelne integrale gesplittet werden, sonst kannst du gleich los integrieren.
sollst du nur die von f(x) und t(x) eingeschlossene Fläche berechnen, So sind deine Schnittpunkte die Integralgrenzen.
Übrigens ist es föllig egal, ob du f(x)-t(x)n oder t(x)-f(x) integrierst, wenn du zum schluß nur die Ergebnisse des Integral als Beträge nimmst.
Gruß N. |
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