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Beitrag |
    
DEDDA
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 12:02: | 
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f(x)=0,5x^3+4
Wie groß ist das Volumen des Rotationskörpers dieser oben genannten Funktion zwischen den Grenzen y=0 bis y=8, wenn die Funktion um die y-Achse rotiert!!!
>>>Bitte schnelle Lösung - DANKE<<<
Stephan |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 14:01: |
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Hallo DEDDA,
f(x) = x³/2 + 4 rotiert um die y-Achse.
Volumen von y=0 bis y=8 gesucht.
So ein Rotationsvolumen kann man auf zweierlei Weise berechnen:
a) Mit der sogenannte Scheiben-Methode (disk method)
b)Mit der sogenanten Zylinder-Methode (shell method).
(Anmerkung: es kann sein, dass die deutschen Bezeichnungen
nicht genau stimmen)
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a) Disk method:
Wir zerlegen den Körper in dünne Scheiben.
Jede Scheibe hat einen Radius = x, und eine Dicke = dy
Volumen dV = x²*p*dy
Gesamtvolumen V = pò x²*dy wobei die Grenzen: y=4 bis y=8 zu nehmen sind.
Um integrieren zu können, müssen wir den Integranden als Funktion von y ausdrücken:
y = x³/2 + 4
x = (2y-8)1/3
x²= (2y-8)2/3
also: V = pò4 8(2y-8)2/3)dy = 3*p(2y-8)5/3/10 in den Grenzen 4 bis 8
Obere Grenze: 3p*85/3/10 = 30,159...
Untere Grenze: 0
Volumen V = 30,159
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b) Shell method:
Wir zerlegen den Körper in dünnwandige Zylinder.
Radius = x
Höhe des Zylinders = 8 - f(x)
Wanddicke = dx
Volumen eines solchen Zylinders: dV = 2*x*p*(8-f(x))*dx
Gesamtvolumen V = 2pò (8x - x4/2 - 4x)dx Grenzen x= 0 bis x= 2
V = 2p*(2x²-x5/10)
Obere Grenze: 2p(8-3,2)
Untere Grenze: 0
Volumen V = 30,159... glücklicherweise wie oben.
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Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 14:30: |
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Hallo DEDDA,
Ich bemerke gerade, dass der Rotationskörper ja aus zwei Teilen besteht. Ich habe nur das Stück von y=4 bis y=8 berechnet.
Du kannst das untere Stück genauso berechnen oder wegen der Symmetrie einfach das Volumen des oberen Stückes verdoppeln.
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