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Daniel
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 20:26: | 
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Hallo,
zu der Funktion f(x) = W(x+1) ist für x = 0 als Entwicklungsstelle die MacLaurin-Reihe zu entwickeln.
Wie das geht weiß ich, ich kann die Reihe auch aufstellen, aaabbbeeerrr....: Ich soll nun mithilfe des Quotientenkriteriums nachweisen, das die Reihe den Konvergenzradius 1 hat.
Um Eure Arbeit abzukürzen: Da die MacLaurinreihe eine Potenzreihe ist, gilt ja dann für den Konvergenzradius einer beliebigen Potzenreihe:
lim | ck / ck+1 | = r
k->oo
also das habe ich schon herausgefunden. Mein Problem ist nun, wie ich den Grenzwert bestimment kann. Das ck dabei = f(k)(0) / k! ist, weiß ich auch, aber irgendwie komme ich auf kein Ergebnis! Kann man das auch mit dem Cauchy/Hadamard-Satz beweisen?
Bitte helft mir, vielen Dank!
Daniel |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 03:15: |
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Hallo Daniel, ganz intereesant ist für mich, wie denn w(.) überhaupt definiert ist. Auch kenne ich die McLaurinreihe bisher nicht, aber da Du sie 'entwickeln' kannst, gibts am Ende vielleicht kein Problem, wenn Du das allgemeine 'Glied' hinschreiben kannst (tust). |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 07:34: |
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Hi Daniel,
Ein paar Hilfestellungen meinerseits
Die Reihenentwicklung für f(x) = wurzel (1+x) beginnt so:
f(x) = 1 + ½ x -1 / (2*4) * x^2 + (1*3) / (2*4*6) * x^3
- (1*3*5) / (2*4*6*8) * x 4 +............................................
Die unendliche Reihe konvergiert für abs(x) < = 1
Für die Koeffizienten a(n) gilt:
a(0) =1 , a(1) = ½ , allgemein für n >1:
a(n) = (-1)^(n+1) * [1*3*5*...*(2n-3)] / [2*4*6...*(2n)] ,
das ist für Dich sicher nicht neu !
Im Sinne des Kriteriums für Potenzreihen bilden wir nun
den Quotienten Q(n) = abs [a(n) / a(n+1)]
Nach einer kurzen Rechnung finden wir:
Q(n) = (2n+2) / (2n-1)
Der Grenzwert von Q(n) existiert und hat den Wert 1 .
Damit ist r = 1 als Konvergenzradius nachgewiesen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Daniel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 11:11: |
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Hallo H.R. Moser,
danke für die Antwort.
Genau an der Stelle a(n) = (-1)^(n+1) * [1*3*5*..*(2n-3)]/[2*4*6...*(2n)] komme ich nicht weiter! Kannst Du mir erklären, wie man genau auf diese Darstellung kommt? Den Rest verstehe ich, nur diesen Teil nicht!
Danke im Voraus,
Daniel |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 13:35: |
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Hi Daniel,
Deine Frage betrifft die allgemeine binomische Reihe;
Du findest ausführliche Herleitungen in den Theoriebüchern
der Analysis.
Gleichwohl deute ich Dir hier an ,in welcher Richtung Du
vorgehen kannst
Für jede reelle Zahl r und jede natürliche Zahl n bedeute
das Symbol (r,n) den Quotienten
(r,n) = [r(r-1)(r-2)...(r-n+1)] / n!
Festsetzung : (r,0) = 1
Damit ist der verallgemeinerte Binomialkoeffizient definiert.
Für alle reellen Zahlen r als Exponent gilt für y = f(x) =(1+x) ^ r:
y ' = r (1 + x) ^ (r -1) = 1! (r,1)(1+ x )^ ( r -1 )
y '' = r (r-1) (1 + x) ^ ( r-2 ) = 2! (r,2) (1+ x ) ^ ( r - 2 )
y ''' = r (r-1 ) (r-2) (1 + x) ^ ( r- 3) = 3! (r,3) (1 + x )^ ( r -3 )
...............................................................................
n-te Ableitung
y(n) = n! (r,n) ( 1 + x ) ^ (r-n) Daraus ergibt sich:
f(0)= 1 , f '(0) = 1! (r,1) , f ''(0) = 2!(r,2) , f '''(0) = 3! (r,3) ....
Die Reihenentwicklung lautet daher:
(1+x)^r = 1 + (r,1) x + (r,2)x^2 + ( r , r ) x ^3 +.......
Fallunterscheidung
Ist r eine natürliche Zahl, r = m , so werden die Ableitungen
von der (m+1)-ten Ordnung an alle null
und es entsteht der bekannte binomische Lehrsatz.
............
Uns interessiert der Fall r = ½
Wir erhalten der Reihe nach:
(r,1)= 1 ,
(r,2) = ½ * (- ½ )/ 2! = - 1 / (2*4)
(r,3) = ½ *(- ½ )*(-3/2) / 3! = (1*3)/(2*4*6)
(r,4) = ½ (- ½ )*(-3/2)*(- 5/2) / 4! = - (1*3*5)/(2*4*6*8)
(r,5) = ( ½ ) *( - ½ )*(-3/2)*(-5/2)*(-7/2) / 5! = (1*3*5*7)/ (2*4*6*8*10)
u.s.w.
Nous y sommes ! Cela suffit !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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