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Basis eines Untervektorraums

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Vektorraum » Archiviert bis 19. Januar 2002 Archiviert bis Seite 1 » Basis eines Untervektorraums « Zurück Vor »

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daniel
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 17:44:   Beitrag drucken

Hallo Leute!

Bitte helft mir bei folgendem Problem:

Gesucht ist eine Basis und die Dimension des folgenden Untervektorraums an:

W := span((1,1,1,1),(0,1,2,3),(0,0,-1,-1),(0,1,1,2))

Ihr seid meine letzte Hoffnung...
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 18:55:   Beitrag drucken

Hallo daniel,
Schreibe die 4 Vektoren als Spalten einer Matrix und reduziere diese nach der Gauss-Methode.
Die Vektoren, die den Pivot-Spalten entsprechen formen eine Basis des Spalten-Raumes.
Achtung: die Spalten der originalen Matrix - nicht die der reduzierten Matrix - bilden die Basis)
In unserem Fall:
(1,1,1,1); (0,1,2,3); (0,0,-1,-1) bilden eine Basis von span(......).

Die Dimension des aufgespannten Unterraumes ist gleich der Anzahl der Basisvektoren, also = 3
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Daniel
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 20:45:   Beitrag drucken

Hallo Fern!

Ich habe versucht anhand deiner Anleitung eine Lösung herbeizuführen, doch ohne Erfolg. Es wäre super, wenn du es ein bisschen ausführlicher erklären würdest, so dass es auch ich verstehen kann.

Vielen Dank.
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Sandra
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 22:39:   Beitrag drucken

hi daniel,

durch die umformung der matrix erhältst du eine nullzeile. der rang (dimension des unterraumes, der durch die spaltenvektoren aufgespannt wird)der matrix ist also drei, was bedeutet, dass drei der ursprünglichen vektoren linear unabhängig sind und somit eine basis des unterraums bilden. jetzt mußt du noch schauen, welche drei das sind. anhand der umformungen ergibt sich, dass die ersten 3 vektoren linear unabhängig sind.
du kannst aber auch direkt "sehen", dass v4=v2+v3 gilt. entfernst du nun v4, hast du drei linear unabhängige vektoren und damit deine basis.
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 08:39:   Beitrag drucken

Hallo Daniel,
Hier die Reduktion etwas ausführlicher:
a
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daniel
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 16:25:   Beitrag drucken

hi fern und sandra,

vielen dank für eure ausführlichen antworten!!

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