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Linda
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 17:40: | 
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Hallo Leute!
Tüftle schon seit Tagen an einem Ansatz für folgendes Problem:
Man überprüfe, ob folgende Mengen Untervektorräume des R3 sind:
a) W1={x e R3|skalarprodukt (x,n)=0 mit n e R3 fest},
b) W2={x e R3|-2x1 - 5x2 + x3 = 1},
c) W3={x e R3|x1 + 3x2 + 7x3 = 0}
Bin für jede (rasche) Hilfe sehr dankbar! |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 04:06: |
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Hallo Linda
Nach den Kriterien oder dem Satz für Untervektorräume musst Du überprüfen, ob gilt:
1. Kriterium: für beliebige x,y aus Wi gilt x+y in Wi
2. Kriterium: für beliebiges x aus Wi und a in R gilt a*x in Wi
Nehmen wir zuerst W2 her:
z.B. ist (0,0,1) inW2.
(0,0,1)+(0,0,1)=(0,0,2) ist aber nicht mehr in W2
Deswegen ist W2 kein Untervektorraum !
W1 zeigt dagegen, was W3 ist, da sie beide von derselben Bauart sind (wegen ....=0):
sei x=(x1,x2,x3) aus R3
und y=(y1,y2,y3) aus R3
Dann gilt nach Voraussetzung [mit n=(n1,n2,n3) beliebig aber fest!]
n1*x1+n2*x2+n3*x3=0 und
n1*y1+n2*y2+n3*y3=0
Wenn man die Gleichungen addiert, was dem 1. Kriterium entspricht, dann kann man Ausklammern und bekommt
n1*(x1+y1)+n2*(x2+y2)+n3*(x3+y3)=0, also
liegt x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) nach Vorrausetzung wieder in W1
Auch beim Multiplizieren bekommt man die gleiche Aussage (2. Kriterium):
sei a in R, dann gilt
skalarprodukt(a*x,n)=a*skalarprodukt(x,n)=a*0=0,
denn beim Skalarprodukt darf man das a 'rausziehen' wegen der Definition des Skalarprodukts.
Damit ist W3 ein Raum wie W1, also ein Untervektorraum, da beide Kriterien erfüllt sind !
Also sind alle W's , die 'hinten NICHT=0' haben keine Untervektorräume, die mit 'hinten =0' aber schon (wie W1 zeigt). |
Linda
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 16:46: |
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Hallo Inexp,
vielen Dank für deine rasche Hilfe! |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 21:40: |
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Gerne doch, bis dann |
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