| Autor |
Beitrag |
    
Sara
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 11:48: | 
|
Hallo, ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe:
Gegeben ist eine Schar von Funktionen dritten Grades, deren Graphen zum Ursprung symmetrisch sind und durch den Punkt P(3/0) gehen.
Die Gleichung der Funktionenschar habe ich bereits. Sie lautet:f(x)=ax*(x-3)(x+3) a ist eine beliebige, reelle Zahl.
a)Bestimme die Gleichung derjenigen Funktion der Schar, deren Graph durch den Punkt P(5/5) verläuft und zeichne den Graphen. Dies Aufgabe konnte ich noch lösen, indem ich die Werte des Punktes P(5/5) in die Funktionsgleichung eingesetzt und nach a aufgelöst habe. Somit lautet die Funktionsgleichung:
f(x)=1/16x*(x-3)(x+3). Den Graphen habe ich schon gezeichnet. Nun habe ich mit den folgenden Aufgaben Probleme:
b)Welche Parabeln der Schar gehen durch den Ursprung mit negativer Steigung?
1.)Welche dieser Parabeln schließen mit der 1. Winkelhalbierenden eine Fläche kleinsten Inhalts ein? Wie groß ist die Maßzahl dieser Fläche?
2.)Jede dieser Parabeln schneidet die 1. Winkelhalbierende im 1. Quadranten in einem Punkt S(u/v). Für welches u ist die Maßzahl der Fläche im 4. Quadranten zwischen der Parabel und der
x-Achse ebenso groß wie die Maßzahl der von der Parabel, der x-Achse und der Geraden x=u begrenzten Fläche?
3.)Welche Ursprungsgerade halbiert die Fläche von Teilaufgabe b)1.)? |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 14:01: |
|
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste folgendes hinkommen:
f(x)=ax³-9ax
f'(x)=3ax²-9a
f'(0)=-9a<0 => a>0 (das war ja noch einfach...)
1.) Schnittpunkt von f mit der Winkelhalbierenden g(x)=x
g(x)-f(x)=-ax³+(9a+1)x=0 => x=wurzel((9a+1)/a)=wurzel(9+1/a)
Die Funktion g-f ist im Bereich 0 bis wurzel(9+1/a) positiv. Die eingeschlossene Fläche beträgt
A=Integral[g-f]dx=...=1/4[81a+18+1/a]
Nullstelle von A'=1/4[81-1/a²] ist a=1/9
Die minimale Fläche ist demnach A=9.
3.) Schnittpunkt von f(x)=1/9a³-x mit einer Ursprungsgerade h(x)=mx (m positiv)
h(x)-f(x)=-1/9x³+(m+1)x=0 => x=wurzel(9(m+1))
Die Funktion h-f ist im Bereich 0 bis wurzel(9(m+1)) positiv. Die eingeschlossene Fläche beträgt
A=Integral[h-f]dx=...=9/4(m+1)²
und soll A halbieren
9/4(m+1)²=9/2 => m=wurzel(2)-1
Die Aufgabe 2 habe ich nicht verstanden. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 17:20: |
|
Hallo Sara,
Aufgabe 2)
Schnittpunkt Parabel, Winkelhalbierende bei x = W(9 + 1/a)
Nullstellen bei: x = ±3
===================
Fläche zwischen x = u, x-Achse und Parabel:
A1=ò3 uf(x)dx wobei u=W(9+1/a)
Stammfunktion von f(x) ist: ax4/4-9ax²/2
die Grenzen eingesetzt ergibt A1 = 1/(4a)
====================
Fläche zwischen Parabel und x-Achse im 4.Q.:
A2 = ò-3 0f(x)dx = (81/4)a
=====================
Beide Flächen sollen gleich sein:
1/(4a) = (81/4)a
a = 1/9
und u = W(9+1/a) = W(18)
===========================
 |
|
