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Petra
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 18:51: | 
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Hallo Genies!
Folgende Aufgabe beschäftigt mich schon seit Tagen und ich finde einfach keinen Ansatz für eine Lösung. Vielleicht kann mir von Euch jemand helfen.
Man zeige, dass W := {(x1, x1+x2, x1+x2) | x1, x2 e R} einen Unterraum des R3 bilden und dass {(1,1,1),(1,0,0)} eine Basis von W ist.
Ich habe schon allerlei versucht, doch ohne Erfolg. |
Rainer Müller
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 23:54: |
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W ist UNTERRAUM
'W ist Unterraum ' machts Du am besten mit dem Unterraum-Kriterium:
1. zeige, dass für y, z in W auch y+z in W liegt
2. zeige, dass für y in W und s (in R) auch
s*y in W liegt:
zu 1.: y=(y1,y1+y2,y1+y2) und z=(z1,z1+z2,z1+z2) seien beliebig aus W.
Dann gilt y+z=(y1+z1,y1+y2+z1+z2,y1+y2+z1+z2)=(y1+z1,(y1+z1)+(y2+z2),(y1+z1)+(y2+z2)) und ist damit ein Element aus W (mit x1=y1+z1 und x2=y2+z2)
zu2.: x=(y1,y1+y2,y1+y2) aus W und s aus R seien beliebig.
Dann gilt s*y=(s*y1,s*(y1+y2))=(s*y1,s*y1+s*y2)
und ist damit ein Element aus W (mit x1=s*y1 und x2=s*y2)
Damit ist gezeigt, dass W ein Unterraum des R3 ist.
BASIS:V={(1,1,1),(0,1,1)} ist wegen
(x1,x1+x2,x1+x2)=(x1,x1,x1)+(0,x2,x2)= x1*(1,1,1)+x2*(0,1,1) ein Erzeugendensystem von W.
Andereseits sind (1,1,1) und (0,1,1) offenbar linear unabhängig; deswegen ist V eine Basis von W und W ist damit 2-dim.
Da aber (1,1,1) und (1,0,0) auch linear unabhängig sind und in W liegen (x1=0 bzw. x2=0), bildet
{(1,1,1),(1,0,0)} eine Basis von W.
Anderer Weg:
Setze (x1,x1+x2,x1+x2)=s*(1,1,1)+t*(1,0,0)
Daraus folgt sofort t=-x2 und s=x1+x2.
Das heisst, dass {(1,1,1),(1,0,0)} ein Erzeugendensystem von W ist, da sowohl (1,1,1) als auch (1,0,0) in W liegen und jedes x aus W mit ihnen dargestellt werden können. Da sie linear unabhängig sind, ist das auch eine Basis. |
Petra
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 06:47: |
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Vielen lieben Dank Rainer!
Du hast mir echt geholfen, sodass ich die anderen Aufgaben sicher lösen kann. |
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