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Aequitas
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 16:24: | 
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Hallo zusammen,
nicht mehr lange und die Abitur- Prüfung steht vor der Tür.
Daher bitte ich um Lösungen der folgende Übungs- Aufgaben, wenn möglich mit
kurzer Erklärung. Vielen Dank im Voraus!
1.) Um eine Kugel mit gegebenen Radius r soll ein Kreiskegel mit kleinstem Volumen gelegt werden. Berechne die Maße des Kreiskegels!
2.) Eine Darlehensnehmer, der ein Darlehen in Höhe von 240.000,- DM zu einem Zinssatz von 6% und mit 1% Tilgung aufgenommen hatte, löst seine Restschuld nach 10 Jahren durch ein neues Darlehen, das mit 4,5% verzinst und mit 1% getilgt wird, ab.
- Berechne die ursprüngliche Annuität,
- die Restschuld nach 10 Jahren,
- die Annuität des neuen Darlehens,
- berechne die Laufzeit des neuen Darlehen
- Tilgungsplan |
Rainer Müller
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 00:43: |
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Hallo
Habe nur Lust auf 1.):
Leider kann ich keine Zeichnung übertragen, um anzuzeigen welche Längen welchen Buchstaben haben.
Sagen wir, der Radius der gegebenen Kugel sei r und der Radius des Kegels sei R, seine Höhe h.
Zeichnet man einen Querschnitt durch die Mitte des Kegels - also ein gleichschenkliges Dreieck mit der Höhe h und der Grundseite(Basis) 2*R - und auch den Inkreis (mit Radius r), und zum Inkreis die kürzesten Verbindungen zu den Seiten des Dreiecks,
dann erkennt man
1. ein grosses rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten R und h (die Hypotenuse ist die Seitenlinie des Kegels)
2. ein kleines rechtwinkliges Dreieck mit der
Hypotenuse h-r und den Katheten r und s (wobei s das Stück auf der Seitenlinie des Kegels von der Spitze bis zum Schnittpunkt einer Winkelhalbierenden ist).
Nun gilt r^2+s^2=(h-r)^2
oder s^2=(h-r)^2-r^2=h^2-2*h*r+r^2-r^2,
also s^2=h^2-2*h*r
Andererseits haben die beiden genannten Dreiecke ausser dem rechten Winkel noch die Hälfte des Winkels bei der Spitze gemeinsam, sind also ähnlich.
Deswegen darf man den Strahlensatz anwenden:
R/h=r/s oder R=h*r/s
Quadrieren ergibt
R^2=h^2*r^2/s^2
Setzt man da s^2=h^2-2*h*r ein, dann kriegt man
R^2=h^2*r^2/(h^2-2*h*r)
Die ganze Mühe war nötig, um in der Formel für das Volumen des Kegels :
V(R,h)=1/3*pi*R^2*h
eine Variable mit der anderen auszudrücken, um in V nur noch z.B. h drin zu haben:
V(h)=1/3*pi* h^2*r^2/(h^2-2*h*r) *h
V(h)=1/3*pi*r^2* h^3*/(h^2-2*h*r)
oder (kürzen mit h)
V(h)=1/3*pi*r^2*h^2/(h-2*r)
V(h)=c*h^2/(h-2*r) mit der Konstanten c=1/3*pi*r^2
(Der Buchstabe r steht ja für den Radius der gegebenen Kugel, ist also eine Konstante in V(h).)
Nun leite V(h) zweimal ab:
V'(h)=c* [(h^2-4*h*r)/(h-2*r)^2]
oder
V'(h)=c* [h*(h-4*r)/(h-2*r)^2]
V'(h)=0 liefert h=4*r.
V'(h) hat ausserdem dasselbe Vorzeichen wie (h-4*r), denn alles andere ist positiv.
Also gibt es einen Vorzeichenwechsel bei 4*r, und zwar von minus nach plus; deswegen liegt ein (relatives) Minimum vor (kleinstmöglich).
Jetzt muss nur noch der Radius R des Kegels berechnet werden:
Der Strahlensatz ergab
R=h*r/s oder
R^2=h^2*r^2/s^2=h^2*r^2/(h^2-2*h*r); setze h=4*r ein:
R^2=16*r^2*r^2/(16*r^2-2*4*r*r)
R^2=16*r^4/(8*r^2)=2*r^2
Also R=wurzel(2)*r und h=4*r
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aequitas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 19:35: |
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Dankeschön für die Lösung der Aufgabe 1.)
Falls jemand die 2.) Aufgabe berechnen könnte, wäre dies sehr nett!
*Ps. Wie werden eigentlich die www.x4u.de - Angebote finanziert?! Super Service!!! |
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