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Beitrag |
    
Anna
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 14:38: | 
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Hallo Ihr!
Ich brauche unbedingt Hilfe bei diesen Aufgaben.
Die Hausaufgaben brauche ich für morgen (bis spätestens heute Abend,weiß selber das es ziemlich knapp ist,aber wir bekamen diese Aufgaben heute und ich komme einfach nicht weiter)
Also:
a) Diskutieren Sie die Funktion fk zu fk(x)=xe^kx
mit k€R^>0!
b) Bestimmen Sie einen Term g(x) der Funktion g, auf deren Graph alle lokalen Tiefpunkte der Schar liegen!
c) Bestimmen Sie einen Term h(x) der Funktion h, auf deren Graph alle Wendepunkte der Schar liegen!
d) Welcher Zusammenhang besteht jeweils zwischen der Extremstelle und der Wendestelle einer
Funktion der Schar?
e) Berechnen Sie die Maßzahl A(a) der Normalflächen von fk über einem Intervall
[-a;0] und berechnen Sie lim (a->unendlich) von
A(a)!
Bin für jede Hilfe sehr dankbar! Wäre noch dankbarer wenn ihr bei euren Lösungen euren Lösungsweg beschreiben würdet,damit ich dies nachvollziehen kann, muß aber nicht ausführlich sein.
Sage schon mal DANKE im vorraus!!!!!!!!!!!!! |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 17:20: |
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zu a) (allerdings nur grob)
Definitionsbereich: |R
Symmetrie: keine
Verhalten im Unendlichen:
für x gegen +Unendlich geht fk(x) gegen +Unendlich
für x gegen -Unendlich: lim xe^kx = lim x/(e^-kx) = lim 1/(-ke^-kx) = lim -1/k * e^kx gegen -0
Nullstellen: xe^kx =0 => x=0
Ableitungen:
f'(x)=1*e^kx + x*ke^kx=(1+kx)e^kx
f"(x)=k*e^kx + (1+kx)*ke^kx = k(2+kx)e^kx
Extremwerte: (1+kx)e^kx =0 => x=-1/k
f"(-1/k)=k(2-1)e^kx >0 => Tiefpunkt
f(-1/k)=-1/k*e^(-1)
Wendepunkte: k(2+kx)e^kx =0 => x=-2/k
f(-2/k)=-2/k*e^(-2)
zu b, c und d) (ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das richtig mache!)
gesucht ist g(x), so daß für jede Stelle x=-1/k g(x)=f(-1/k) gilt.
=> g(x) = -1/k*e^(-1) = xe^(-1)
gesucht ist h(x), so daß für jede Stelle x=-2/k g(x)=f(-2/k) gilt.
=> h(x) = -2/k*e^(-2) = xe^(-2)
Der Zusammenhang wäre dann g(x)=e*h(x)
aber wie gesagt, hier habe ich kaum Ahnung
zu e) Die Stammfunktion von fk(x) ist Fk(x)=e^kx*(kx-1)/k²
Das bestimmte Integral in den Grenzen [-a;0] ist dann
A(a)=e^(-ka)*(-ka-1)/k² + 1/k²
=-ae^(-ka)/k - e^(-ka)/k² + 1/k²
Für a gegen Unendlich wird der zweite Term 0, der dritte bleibt konstant 1/k².
Der erste Term liefert in seiner augenblicklichen Form "-Unendlich mal 0".
Um die Regel von L'Hospital anwenden zu können, wird der Term entsprechend umgestellt
lim -ae^(-ka)/k = lim -a/(ke^(ka)) = lim -1/(k²e^(ka)) geht gegen Null.
Damit geht die Fläche A(a) für a gegen unendlich gegen den Wert 1/k²
Aber ich muß es noch mal ganz deutlich sagen: 100%-ig sicher bin ich mir nicht... |
veronika (V27)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 17:30: |
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Oh ich sehe hier hat dir in der Zwischenzeit schon jemand geantwortet.
Naja vielleicht nützt dir's ja trotzdem noch was!
zwecks vergleichen und so !
Aus Zeitgründen hab ich nicht alles gemacht und auch nicht jeden Lösungsweg hingeschrieben
Falls was unklar ist : auf jeden Fall nochmal nachfragen!
a) NST: x=0
SP y-Achse: y=0
Ableitungen:
f ' k (x) = e ^(kx) + xke^(kx)
f '' k (x) = 2(ke^(kx)) + k^2 * xe^(kx)
Extrempunkt:
0 = .....
-e^(kx)= xke^(kx)
-1= xk
x= - (1/k) -> y = - (1/k) e^( - 1)
Wendepunkt:
0 = ....
- 2 (ke^(kx)) = k^2 * xe^(kx)
-2 = kx
x = - (2/k) -> y = - (2/k) e^( - 2)
b) Jetzt wo du die Extrempunkte hast weißt du doch wie man die Ortskurve bestimmt, oder?
Wenn nicht, frag noch mal. Ich will nur nicht unnötig was hinschreiben was du weißt.
Hier also nur die Ergebnisse:
y = x e^(-1)
c) Ortskurve der WP
y = x e^(-2)
d) Weiß ich nicht genau : die einzige interpretation die mir einfällt ist :
der Wert der EP ist jeweils doppelt so groß wie der Wert der WP
(ich weiß aber nicht ob das das ist was die hier hören wollen)
e)Die Stammfunktion ist ( auch hier nachfragen wenn nötig) :
F = (x/k)e^(kx) - (1/k^2) e^(kx)
im Intervall von - unendl. bis 0 müsste die fläche : ( -1/ k^2) sein.
Also wie schon gesagt : bei Unklarheiten: fragen !
Ich schau heut Abend nochmal vorbei.
Gruß Veronika |
Anna
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 17:54: |
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Ich bedanke mich sehr bei euch!!!!!
Habe aber noch eine Frage:
Mit welcher Regel habt ihr die Ableitungen und Stammfunktionen bestimmt?
Wenn mir noch etwas unklar ist,werde ich mich noch melden!
DANKE! |
Anna
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 18:20: |
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Hallo,ich bin es nochmal!
Vieles kann ich nachvollziehen,aber wie lautet denn die 3.Ableitung? und mit einer Ortskurve kann ich leider nichts anfangen.
Aber danken tue ich trotzdem!!!!!!!! |
veronika (V27)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 20:14: |
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Hallo Anna
Die Stammfunktionen hab ich mit partieller Integration gemacht.
F(x)= u*v - S(u*v')dx
Die Ableitungengehen mit der Produktregel:
f'(x)=u'*v + u*v'
die 3. Ableitung ist
f'''(x)=2(k^2)e^(kx) + (k^2)e^(kx) + (k^3)xe^(kx)
Ortskurve:
gesucht war eine Fkt. auf der alle EP der Schar liegen(=Ortskurve)
1)ausgerechneten x-Wert des EP nehmen:
x=(-1/k)
2)nach k umstellen
k=(-1/x)
3)ausgerechneten y-Wert des EP nehmen:
y=(-1/k)e^(-1)
4)Den Wert von k (aus 2)) in y (von3)) für k (aus 3)) einsetzen
y=(-1/(-1/x))e^(-1)
y= x e^(-1)
Für weitere fragen offen ... aber das kennst du ja schon ...
Ciao Veronika |
Anna
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 22:18: |
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VIELEN LIEBEN DANK!!!!!!!!
HABT BZW. HAST MIR SEHR GEHOLFEN!!!!!!!!!! |
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