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Beitrag |
    
Bettina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Oktober, 2002 - 18:41: | 
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Hallo
Wer kann mir helfen, die folgende Extremum-Aufgabe zu lösen?
Ein Draht der Länge L wird in zwei Stücke zerschnitten.
Das erste Stück wird zu einem Quadrat umgebogen, das zweite zu einem Kreis.
Man bestimme die Schnittstelle, wenn die Summe der Flächeninhalte
von Quadrat und Kreis minimal sein soll.
Für jede Hilfe ist dankbar
Eure Bettina.
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Elsa
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Oktober, 2002 - 19:47: |
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Hi Bettina,
Die Teilstrecken des Drahts seien x und y, also gilt
x + y = L
Diese Bedingung über die Teile und das Ganze stellt die so genannte
Nebenbedingung (NB) dar.
Die Quadratseite ist a = ¼ x, der Kreisradius r = y / (2*PI)., demnach gilt
für die Gesamtfläche F :
F = a^2 + P i* r^2 = 1 / (16*PI) * [ Pi * x^2 + 4 * y^2 ]
Mittels der NB erhalten wir:
F = 1 / (16*PI) * [ Pi * x^2 + 4 * (L – x )^ 2 ]
Wir untersuchen die Funktion f (x) von x allein, wobei gilt:
f(x) = Pi * x ^ 2 + 4 * (L – x ) ^ 2
Die erste Ableitung ist f ´ (x) = 2 Pi x – 8 ( L- x) ;
mit der Nullstelle
x = 4 L / ( 4 + Pi) im Inneren des Intervalls 0 < = x < = L,
woselbst die Funktion ihr relatives und absolutes Minimum annimmt.
Zeichne zur Illustration den Graphen für das numerische Beispiel L = 10.
Mit freundlichen Grüßen
Elsa
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 185
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Oktober, 2002 - 00:46: |
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Hi,
dass die Funktion an der Stelle 4L/(4 + pi) ein relatives Minimum annimmt, zeigt man noch mit der 2. Ableitung:
f ''(x) = 2*pi + 8 > 0, Minimum
x kommt dabei gar nicht mehr vor, also braucht man auch 4L/(4 + pi) nicht einsetzen.
f '' ist positiv, das bedeutet, nur ein relatives Minimum ist möglich.
Gr
mYthos
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