| Autor |
Beitrag |
    
Christoph Röhm (Chris2k)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 11:51: | 
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Hallo! Wer kann man bei dieser Aufgabe helfen?
Brauche dringend Lösungsweg und Lösung!
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f durch
f(x)=x^3 / Wurzel 9+x^2 ; xeR
a) Untersuchen sie den Graphen von f auf Symmetrie, Nullstellen und sein Verhalten für
x gegen + - unendlich
b) Weisen sie nach, dass der Graph der Funktion f keine Hoch- und Tiefpunkte hat und das der Punkt (0;0) ein Sattelpunkt ist.
c) Weisen die nach, dass die Funktion f eine Umkehrfunktion f* besitzt.
d) Die Graphen der Funktion f und f* schließen eine Fläche A ein.
Ermitteln sie die Maßzahl des Flächeninhalts von A! |
Tini (Tini)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 12:18: |
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a)
1. Symmetrie:
Zur Überprüfung von Achsensymmetrie (zur y-Achse) muss gegeben sein: f(x)=f(-x) Dies liegt hier nicht vor, da x³ ungleich -x³
Zur Überprüfung von Punktsymmetrie (zum Ursprung) muss gegeben sein: f(-x)=-f(x).
2. Nullstellen: f(x)=0 <=> x^3/Wurzel (9+x^2)=0 Multipliziere hierbei mit der Wurzel (ist möglich, da die Wurzel ungleich 0) und zeihe dann die dritte Wurzel <=> x=0
3. +unendlich: Der Nenner geht stärker gegen unendlich als der Zähler, also geht das ganze gegen +unendlich
4.-unendlich: selber Grund wie bei +unendlich, nur dass die Funktion gegen -unendlich geht
b)
1. Hoch- und Tiefpunkte: Bilde einfach die erste Ableitung von f(x) mit Hilfe der Quotientenregel (oder der Kettenregel, wenn Du für Wurzel (9+x^2)=(9+x^2)^(-(1/2))schreibst) und überprüfe, ob f'(x)=0. Ist dies der Fall (also gibt es x-Werte), dann überprüfe f''(x) ungleich 0 ist. Dies müsste nämlich sein, sonst gäbe es Extremwerte.
c) Du schreibst einfach y=x^3/Wurzel(9+x^2) und löst nach x auf. Dann vertauscht Du x und y und Du erhältst die Umkehrfunktion von f(x).
d) Du errechnest die Schnittpunkte der beiden Funktionen (f(x)=f*(x)) und berechnest dann das Intervall von dem einem Schnittpunkt bis zum anderen!
Alles klar, oder hast Du noch irgendwelche Fragen? |
thalesx
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 13:09: |
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Hallo Tini!
Meiner Meinung nach reicht es bei Teil c nicht, das ganze nur nach x aufzulösen.
Dies ist zwar die Verfahrensweise, allerdings keine ausreichende Begründung.
Die Begründung müsste sich darauf stützen, das die Funktion injektiv (oder eineindeutig) ist, so das aus x1 ungleich x2 folgt f(x1) ungleich f(x2).
Diese Bedingung ist durch die Monotonie der Funktion gegeben.
MfG thalesx |
Tini (Tini)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 13:25: |
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Hallo thalesx!
Du hast schon recht mit der Monotonie. Dies wäre dann die anschauliche Erklärung (man bräuchte dabei ja dann keine Rechnung).
Ich meine aber, dass man es rechnerisch so macht, so wie ich es gemacht habe. Es kann da ja sein, dass die Umformung dann nicht funktioniert, weil irgendwas nicht definiert ist. Dann gäbe es keine Umkehrfunktion. Jedenfalls haben wir das immer so gemacht!
MfG zurück |
Rainer
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 00:09: |
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Es gibt auch Funktionen, die nicht monoton, aber trotzdem umhehrbar sind, oder die nur auf z.B. Intervallen injektiv sind.
Deswegen macht es thalesx schon richtig, dass er das vorher nachprüft.
mfG |
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