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Beitrag |
    
Schmatzi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Oktober, 2002 - 22:05: | 
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Ich habe einen Punkt P und eine Ebene E gegeben und soll dazu diejenige Kugel K(M;r) bestimmen, für die die Ebene E die Polarebene zum Pol P bezüglich der Kugel K bildet. Welche Rechenschritte muss ich durchführen, um M und r zu bestimmen?
Konkrete Werte (falls benötigt):
P(8|-6|4)
E:x(Vektor)*{3;-6;2}=19
Vielen Dank im Voraus... |
mythos2002 (mythos2002)
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Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 183
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Oktober, 2002 - 21:17: |
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Die gegebene Ebene ist Polarebene des Pols P(8|-6|4) bezüglich der Kugel k (Mittelpunkt M(u|v|w), Radius r). Somit ist der Normalvektor {3;-6;2} dieser Polarebene proportional zum Vektor MP = P - M. Der Proportionalitätsfaktor sei t:
MP = P - M = { 8-u ; -6-v ; 4-w}
8 - u = 3t
-6 - v = -6t
4 - w = 2t
--------------
Die Polarebene beeinhaltet jenen Berührungskreis auf der Kugel, der vom Tangentialkegel von P an die Kugel erzeugt wird.
Die allgemeine Gleichung der Polarebene, Pol P(xo|yo|zo), Kugel (X - M)² = r² lautet:
(X - M).(P - M) = r²
(X - M).{ 8-u ; -6-v ; 4-w} = r²
(x - u)*(8 - u) + (y - v)*(-6 - v) + (z - w)*(4 - w) = r²
x*(8 - u) + y*(-6 - v) + z*(4 - w) = u*(8 - u) + v*(-6 - v) + w*(4 - w) + r²
Nun ist wieder die Proportionalität der x-, y- und z-Koeffizienten mit dem Normalvektor {3;-6;2} zu berücksichtigen.
8 - u = 3t
-6 - v = -6t
4 - w = 2t
------------------
x*3t - y*6t + z*2t = 3t*u - 6t*v + 2t*w + r²
Diese vergleichen wir nun (Koeffizientenvergleich) mit der gegebenen Ebene, die wir noch mit t multiplizieren, um die Koeffizienten direkt gleichsetzen zu können:
3tx - 6ty + 2tz = 19t
Die linken Seiten sind nun gleich, daher auch die rechten Seiten:
3t*u - 6t*v + 2t*w + r² = 19t
wegen:
8 - u = 3t ist u = 8 - 3t, aus
-6 - v = -6t folgt v = -6 + 6t und aus
4 - w = 2t folgt w = 4 - 2t
---------------------------------------
3t*(8 - 3t) - 6t*(-6 + 6t) + 2t*(4 - 2t) + r² = 19t
24t - 9t² + 36t - 36t² + 8t - 4t² - 19t + r² = 0
49t² - 49t - r² = 0
====================
Aus diesem Ergebnis folgt, dass die Angabe unvollständig ist, also entweder vom Kugelmittelpunkt EINE Koordinate oder von der Kugel der Radius gegeben sein muss, wenn man eine eindeutige Lösung erhalten will.
Soll der Kugelmittelpunkt z.B. in der x-y - Ebene liegen, ist dessen z-Koordinate = 0, also w = 0.
Daraus (4 - w = 2t) folgt t = 2, dieses eingesetzt ergibt u = 2 und v = 6; r² ist schließlich (r² = 49t² - 49t) = 98.
Die Gleichung der Kugel, die die Bedingungen in der Angabe erfüllt, lautet dann:
{X - [2;6;0]}² = 98
Gr
mYthos
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Oktober, 2002 - 15:15: |
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Lieber Mythos,
Trotz des steifen Gegenwindes, der in Zahlreich uns Helfern
entgegenweht, soll unsere Gruppe aktiv bleiben!
Ich danke Dir für die Lösung des Problems mit Pol und Polarebene.
Sie hat bei mir nostalgische Erinnerungen an eine Zeit
geweckt, während der diese Dinge (Pol, Polarebene,Tangentialkegel)
noch zum Rüstzeug der Maturanden gehörten
Bei der Suche nach den Kugeldaten hast Du zeitig auf den
Freiheitsgrad EINS der Aufgabe hingewiesen.
Stellt man die Zusatzbedingung, dass der Kugelmittelpunkt,
den wir zu Ehren des Aufgabenlösers mit My bezeichnen wollen,
in der (x,y)-Ebene liegen soll, wie Du vorschlägst, kann
das Problem in wenigen Zeilen gelöst werden.
Der Kugelmittelpunkt liegt nämlich auf der Normalen n zur
Polarebene durch den Pol P. Wir erhalten sofort die
Parameterdarstellung von n :
x = 8 + 3 t , y = - 6 - 6t , z = 4 + 2t .
Für My mit z = 0 ist t = - 2 zusetzen, somit:
My (2 / 6 / 0 )
°°°°°°°°°°°°°
Mit der Formel von Hesse berechnen wir den Abstand a
des Punktes My von der Polarebene ; wir erhalten a = 7.
Der Abstand des Punktes My vom Pol P ist u = 14.
Aus dem Kathetensatz ergibt sich in wenigen Millisekunden
der Radius R dieser Sonderkugel:
R = wurzel ( a*u ) = wurzel(98) , wie bei Dir auf der letzten Seite.
Ich widme diese kleine Rechnung dem Gedenken an unsere schöne
Zusammenarbeit in Wien anfangs Oktober.
Herzliche Grüsse
H.R.Moser,megamath
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 184
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Oktober, 2002 - 00:24: |
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Lieber megamath,
ja klar, das ist ja so viel einfacher!
Danke für die Widmung! :-)
Zu Beginn habe ich allerdings allgemein gerechnet (ohne eine weitere Bedingung für den Mittelpunkt der Kugel zu kennen bzw. vorauszusetzen).
Es ist nun nach deiner Methode - in welchem Falle auch immer - davon auszugehen, dass der Mittelpunkt der Kugel auf der Normalen zur Polarebene durch den Pol liegt! Die Parametergleichung dieser Normalen ist gleichzeitig die Bedingung für die Koordinaten des Mittelpunktes M(u|v|w):
u = 8 + 3 t, v = - 6 - 6t, w = 4 + 2t
Damit kommt man zum gewünschten Ergebnis, wie von dir beschrieben (pfiffig: Mittels Kathetensatz r berechnen!), wenn zumindest eine Koordinate von M bekannt ist. Dann ist dein durch geometrische Überlegungen gewonnene Weg klar der einfachere!
Wenn nun der Radius r = 98 gegeben sein sollte, mhhhm, da wird's etwas schwieriger, denn dann ist "rückwärts" von 98 aus zu rechnen (Abstand a nur allgemein, 2 Vorzeichen möglich!!).
a = +/-(3u - 6v + 2w - 19)/7
d = MP = sqrt[(8 - u)² + (-6 - v)² + (4 - w)²]
(den Abstand habe ich mit d bezeichnet, weil u schon eine Koordinate ist)
Nach Höhensatz ist 98 = a*d; in a und d statt u = 8 + 3t, v = - 6 - 6t, w = 4 + 2t einsetzen:
98 = +/-[(24 + 9t + 36 + 36t + 8 + 4t - 19)/7]*sqrt(9t² + 36t² + 4t²)
98 = [(49 + 49t)/7]*7t oder 98 = -[(49 + 49t)/7]*7t
2 = t + t² oder 2 = - t - t²
t² + t - 2 = 0 ... oder ... t² + t + 2 = 0
t1 = -2; t2 = 1 ........... t3, t4 nicht reell!
===============
Also funktioniert die Geschichte mit dem Höhensatz auch in diesem Falle, genial!
Hier erhalten wir 2 mögliche Kugeln K1, K2 mit den Mittelpunkten M1(2|6|0) und M2(11|-12|6)!
Das Interessante an der zweiten Kugel K2 ist die Tatsache, dass dabei der Pol P innerhalb der Kugel K2 liegt und nach den Hauptsätzen der Polarentheorie (welche analog auch in R2 für den Kreis gelten) die Polarebene ausserhalb dieser Kugel verläuft.
Es führt dies hier in der Folge zu einer speziellen Abbildung, welche als Inversion eines Punktes an einer Kugel (R2: an einem Kreis) bekannt ist [MP * MP' = r²], aber damit sage ich dir ja absolut nichts Neues in deinem Fachgebiet ...
:-)
Gr
mYthos
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