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Jeanine (jeanine)
Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 08:59: | 
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In einen Rotationskegel vom Radius r und der Höhe h soll ein Zylinder von größtmöglichem Volumen einbeschrieben werden.
Berechnen Sie auch das Volumen des entstehenden Zylinders und geben Sie an, welchen Bruchteil des Kegelvolumens es ausmacht?
Achtung: Zum Aufstellen der Nebenbedinung benutzen Sie bitte einen der Strahlensätze. |
kai
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 13:05: |
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Hallo Jeanine,
die Frage kam schon öfter im Archiv vor.
Schau mal hier, ob Du die Antwort von Thomas verstehst:
gleiche Frage ...
Wenn nicht, kannst Du ja detaillierter fragen, wo Du hängen bleibst.
cu kai
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 177
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 20:55: |
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Hi,
ich möchte dies doch noch genauer behandeln!
Der Radius des Zylinders sei x, dessen Höhe y.
Hauptbedingung ist dann: V = x²*y*pi
Nebenbedingung aus der Ähnlichkeit zweier rechtwinkeliger Dreiecke (das große Dreieck r, h, .. , bzw. das kleinere Dreieck an der Spitze x, (h-y, ..), d.i. die Anwendung des Strahlensatzes:
r : h = x : (h - y)
rh - ry = hx
y = h*(r - x)/r .. Nebenbedingung
----------------
Zielfunktion:
V = x²*pi*(h/r)*(r-x);
als konstante Faktoren kann man pi und (h/r) weglassen -->
V(x) = x²*(r - x)
V(x) = rx² - x³
V'(x) = 2rx - 3x²
V''(x) = 2r - 6x
-------------------
V' = 0 --> x*(2r - 3x) = 0 (nur x > 0 sinnvoll)
x = (2/3)*r
============
y aus Nebenbedingung:
y = (h/r)*[r - (2/3)r] = h/3
=============================
Somit ist Vzyl = x²y*pi = (4/9)*pi*r²*h/3 = (4/27)*pi*r²h
Das Kegelvolumen ist Vke = r²h*pi/3, daher ist das Zylindervolumen 4/9 des Kegelvolumens oder der 2,25-te Teil des Kegelvolumens.
Vz = (4/9)*Vk bzw. Vz = Vk/(9/4) = Vk/2.25
Nun noch der Nachweis des Maximums: Die zweite Ableitung bei x = 2r/3 muss kleiner 0 sein:
V''(2r/3) = 2r - 6*2r/3 = -2r < 0, Maximum!
Gr
mYthos
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