| Autor |
Beitrag |
    
Jennifer
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 16:37: | 
|
In einer Fernsehshow steht die Kandidatin vor einem Kasten mit 10 Schlüsseln, von denen zwei das Schloss einer Schatzkammer öffnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt sie mindestens einen der beiden passenden Schlüssel, wenn sie
a) drei Schlüssel mit einem Griff herausholen darf?
b) dreimal nacheinander einen Schlüssel aussuchen und probieren darf, den ausgesuchten aber jedesmal vor der Wahl des nächsten Schlüssels zurücklegen muss (und nicht feststellen kann, ob ein Schlüssel schon ausprobiert wurde)? |
Andi (andreas_)
Mitglied
Benutzername: andreas_
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Oktober, 2002 - 18:36: |
|
Hallo Jennifer!
Also die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist:
Anzahl der günstigen Ereignisse : Anzahl der möglichen Ereignisse
a) In diesem Fall berechnen wir zuerst die Anzahl der möglichen Ereignisse:
Wenn er 3 Schlüssel mit einem Griff herausholt, dann gibt es für den 1. Schlüssel 10 Möglichkeiten, weil sich in dem Kasten ja 10 Schlüssel befinden.
Für den 2. Schlüssel gibt es nur mehr 9 Möglichkeiten, weil ja einer der 10 Schlüssel schon in seiner Hand ist.
Und für den 3. Schlüssel gibt es nur mehr 8 Möglichkeiten, weil ja schon zwei der 10 Schlüssel in seiner Hand sind.
Diese Anzahlen der Möglichkeiten multiplizieren sich:
10*9*8=720
Man hat also 720 verschiedene Möglichkeiten, 3 von 10 Schlüsseln in einer bestimmten Reihenfolge aus dem Kasten zu nehmen. Da aber die Reihenfolge egal ist, weil er ja alle 3 Schlüssel mit einem Griff herausholt, berechnen wir noch, wieviele Möglichkeiten es gibt, 3 Schlüssel in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen. Das berechnet man folgendermaßen:
3*2*1=6
Es gibt also 6 Möglichkeiten, zum Beispiel die Schlüssel 1, 2 und 3 in verschiedener Reihenfolge anzuordnen:
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
Da es aber egal ist, ob der Kandidat die Schlüssel 1, 2 und 3 oder 3, 2 und 1 nimmt (Reihenfolge!), müssen wir die 720 Möglichkeiten durch 6 dividieren:
720/6=120
Es gibt also "nur" 120 Möglichkeiten 3 Schlüssel von 10 aus einem Kasten mit einem Griff herauszunehmen.
Das ist die Anzahl der möglichen Ereignisse.
Jetzt berechnen wir noch, wieviele günstige Ereignisse es gibt. Da das aber etwas kompliziert ist, berechnen wir, wieviele ungünstige Ereignisse es gibt und ziehen sie von den möglichen Ereignissen ab:
Wenn 2 der 10 Schlüssel passen, dann gibt es also 8 Schlüssel, die nicht passen. Wir berechnen nun, wieviele Möglichkeiten es gibt, daß beide Schlüssel von den 8 nicht passenden sind.
Dabei gibt es für den 1. Schlüssel 8 Möglichkeiten, für den 2. Schlüssel 7 Möglichkeiten und für den 3. Schlüssel 6 Möglichkeiten.
Diese Möglichkeiten multiplizieren sich wieder:
8*7*6=336
Da es auch bei diesen 3 Schlüssel 6 Möglichkeiten gibt, sie in unterschiedlicher Reihenfolge anzuordnen, dividieren wir diese Zahl wieder durch 6:
336/6=56
Wenn es also 56 ungünstige Ereignisse gibt, dann können wir uns die Anzahl der günstigen Ereignisse ausrechnen:
120-56=64
Es gibt also 64 günstige Ereiginsse. Die Wahrseinlichkeit, daß er mindestens einen der 2 passenden Schlüssel zieht ist
64:120
also 1:1,875
b) Auch in diesem Fall berechnen wir wieder zuerst die Anzahl der möglichen Ereignisse. Da er nun aber die gezogenen Schlüssel wieder zurücklegen muß, zieht er 3 mal einen Schlüssel aus 10 Schlüsseln. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also:
10*10*10=1000
Es gibt also 1000 Möglichkeiten, aus 10 Schlüsseln 3 zu ziehen, wobei jeder zurückgelegt wird.
Nun berechnen wir wieder, wieviele Möglichkeiten es gibt, daß bei allen 3 Ziehungen keiner der beiden richtigen Schlüssel dabei ist. Er muß also 3 mal einen der anderen 8 Schlüssel ziehen:
8*8*8=512
Es gibt also 512 Möglichkeiten, bei denen er keinen der 2 richtigen Schlüssel zieht, also
1000-512=488
günstigen Möglichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens einer der 3 gezogenen Schlüssel der richtige ist, ist
488:1000
also1:2,049
Ich hoffe, ich konnte es ein bißchen verständlich erklären.
Liebe Grüße -
Andi |
Jennifer
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 19:08: |
|
Hallo Andi,
Super lieben Dank für deine ausführliche Antwort, die Erklärung war sogar sehr gut verständlich.
Ich wollte jetzt noch gern wissen, ob sich die Herleitung dafür auch anders auffassen lässt, wenn ich die Bedeutung der Brüche in deinem Ergebnis uminterpretiere:
Das Gegenereignis für "mindestens ein passender Schlüssel" ist "kein passender Schlüssel".
Also rechne ich erstmal die Wahrscheinlichkeiten dafür aus:
bei a)
8/10 dafür, dass der erste Schlüssel nicht passt,
7/9 dafür, dass der zweite Schlüssel nicht passt, und
6/8 dafür, dass der dritte Schlüssel nicht passt, ergibt dann:
8/10 * 7/9 * 6/8 = 7/15
bei b) kann es doch als Bernoulli-Zufallsversuch gedeutet werden, ja? also so:
die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schlüssel nicht passt, ist jedesmal 0,8, und dass dreimal hintereinander einer von den 8 aus 10 nicht passenden gezogen wird, dann 0,8³.
So komme ich auch zu den Ergebnissen:
a) 1- 7/15 = 8/15 = 53 1/3 %
b) 1 - 0,8³ = 61/125 = 48,8%
Also vielen Dank nochmals, ach ja, und: nicht er zieht die Schlüssel, sondern eine Kandidatin, aber das hat mich bei deiner kompetenten Antwort nicht wirklich gestört. ;-)
|
Andi (andreas_)
Mitglied
Benutzername: andreas_
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Oktober, 2002 - 23:28: |
|
Hallo Jennifer!
Du hast absolut recht! Das Gegenereignis von "mindestens ein passender Schlüssel" ist "kein passender Schlüssel".
Die Art, wie Du es ausgerechnet hast, ist absolut richtig. Du hast es auf eine viel einfachere Art gerechnet, wie ich. Du hast die Wahrscheinlichkeiten, daß einer der passenden Schlüssel nicht gezogen wird miteinander multipliziert und dann von 1 abgezogen, was ja wohl die einfachste Art ist.
Ich habe es sehr kompliziert gerechnet "sorry", aber ich bin schon seit einiger Zeit aus dieser Materie herausen. ;-)
Es freut mich aber, daß Dir meine Antwort gefallen hat und ich würde mich freuen, wenn ich Dir wieder mal helfen kann.
Liebe Grüße -
Andi |
|
