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Shake155
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 16:03: | 
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Hallo!
Kann mir irgendwer mal ausführlich erklären was ein Vektorraum ist?? Wenn es geht eine möglichst einfache erklärung("für ganz dumme")
Vielen Dank im vorraus
Lisa |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 606
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 17:02: |
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Hi Lisa
Also erstmal lege ich mal hier den Vektorräumen den Körper der reellen Zahlen zu Grunde(Wenn du weisst, was ein Körper ist kannst du auch andere nehmen).
Wir nehmen uns jetzt erstmal eine nichtleere Menge M.
Nun müssen wir in dieser eine Addition definieren. Wir schreiben sie als a+b, wobei a und b in M liegen. Sei auch noch c aus M. Bei der Addition müssen bestimmte Gesetze gelten:
1) Sie muss abgeschlossen sein, d.h wenn du a und b addierst erhältst du ein Element, das wieder in M liegt.
2) Das Assozitativgesetz gilt:
(a+b)+c=a+(b+c)
3) Das Kommutativgesetz gilt:
a+b=b+a
4) Es existiert ein neutrales Element 0 (auch Nullelement genannt) in M mit:
a+0=a
5) Es existert zu jedem Element in M ein inverses Element, d.h. wenn du dieses Element addierst erhältst du das neutrale Element.
Wir nennen das Inverse zu a einfach (-a):
a+(-a)=0
Das waren die Gesetze bei der Addition. Jetzt müssen wir noch eine Multiplikation definieren.
Multiplikation hier bedeutet, dass du eine reelle Zahl mit einem Element deines Körpers multiplizierst. Seien r,s aus R und a,b aus M.
Wir schreiben die Multiplikation als r*a.
Es gibt wieder 5 Gesetze:
6) Die Multiplikation ist abgeschlossen, d.h. multiplizierst du ein Element aus M mit einer reellen Zahl, liegt dieses Element wieder in M.
7) Assoziativgesetzt:
(r*s)*a=r*(s*a)
8) Distributivgesetz:
(r+s)*a=r*a+s*a
9) Noch ein Distributivgesetz:
r*(a+b)=r*a+r*b
10) Es existiert ein neutrales Element 1(Auch Einselement genannt) in R mit:
1*a=a
So, das wars. Sind bei einer Menge all diese Gesetze erfüllt, handelt es sich um einen Vektorraum. Die Elemente aus M werden Vektoren genannt, die Elemente des zu Grunde liegenden Körpers der reellen Zahlen werden Skalare genannt.
Ich geb dir am besten mal ein paar Beispiele:
Nehmen wir mal folgende Menge als M:
M={(a,a)| a aus R}
D.h. (3,3) und (5,5) sind Elemente der Menge (5,3) jedoch nicht.
Addition definieren wir folgendermaßen. Seien a,b,c aus R.
(a,a)+(b,b)=(a+b,a+b) [Also komponentenweise]
Jetzt überprüfen wir die einzelnen Punkte. Ich mach das jetzt mal etwas schneller, falls du Fragen hast kannst du sie ja stellen.
1) sieht man direkt aus der Definition der Addition.
2) ((a,a)+(b,b))+(c,c)=(a+b,a+b)+(c,c)
=((a+b)+c,(a+b)+c)=(a+(b+c),a+(b+c))
=(a,a)+(b+c,b+c)
=(a,a)+((b,b)+(c,c))
3) Geht genau wie das Assoziativgesetz
4) Neutrales Element ist (0,0)
5) Invers zu (a,a) ist (-a,-a)
Multiplikation mit einer reellen Zahl r definieren wir als:
r*(a,a)=(r*a,r*a)
Seien r, s Elemente des Körpers der reellen Zahlen.
6) Ergibt sich wieder direkt aus der Definition.
7) (r*s)*(a,a)=((r*s)*a,(r*s)*a)
=(r*(s*a),r*(s*a))=r*(s*(a,a))
8) (r+s)*(a,a)=((r+s)*a,(r+s)*a)
=(r*a+s*a,r*a+s*a)=(r*a,r*a)+(s*a,s*a)
=r*(a,a)+s*(a,a)
9) wie 8)
10) Neutrales Element ist 1.
1*(a,a)=(1*a,1*a)=(a,a)
Deine Menge ist also ein Vektorraum.
Jetzt nochmal ein Gegenbeispiel:
Wir nehmen M={(a,a²)|a aus R}
Addition und Multiplikation definieren wir wie oben. Dann scheitert das Beispiel schon gleich an der Abgeschlossenheit der Addition.
(2,4) und (3,9) sind Elemente deiner Menge.
(2,4)+(3,9)=(5,13)
Aber 5² ist nicht 13.
Also handelt es sich nicht um einen Vektorraum.
Bis hierhin erstmal. Wenn du noch Fragen hast melde dich einfach nochmal.
MfG
C. Schmidt |
Shake155
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Oktober, 2002 - 17:18: |
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Hallo Christian!
Vielen, vielen Dank!!!
Ich werde mir das morgen mal in aller Ruhe durchlesen und dann hoffentlich schlauer sein als vorher:-))
Vielleicht komme ich auf dein Angebot zurück und frag nochmal nach.
Danke... Lisa |
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