| Autor |
Beitrag |
    
Stefan Krahl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 07:46: | 
|
Guten Morgen!
Ich habe ein geometrisches Problem, vielleicht weiß jemand Rat: Gegeben sind 4 Ebenengleichungen. Wie kann ich am einfachsten feststellen ob ein vorgegebener Punkt P(xP|yP|zP) innerhalb oder außerhalb des Tetraeders liegt, der durhc den Schnitt der 4 Ebenen gebildet wird??
Zahlenbeispiel: Die Ebenen sind
(I) 2x-3y-z=4
(II) x+z=-1
(III) x+2y+3z=5
(IV) 4x-y-7z=12
Man soll es aber auch allgemein durch die Normalvektoren und die Konstante der Ebenen beschreiben.
Vielen Dank für jeden Hinweis!
MfG
Stefan Krahl
|
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 593
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 11:49: |
|
ZU KOMPLIZIERT WAHRSCHEINLICH:
analog
zur Ebene und 3eck, wo für einen Punkt P innerhalb die Summe der Flächen der 3 3ecke PAB, PAC, PBC
gleich der Fläche ABC ist, und größer für einen P
außerhalb,
wird
beim Tetraeder für einen P außerhalb die Summe der
Volumina der Pyramiden PABC, PABD, PACD, PBCD größer als das Volumen ABCD
(
die Flächen/Volumina sollten natürlich alle absolut genommen werden
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
|
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 233
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 12:03: |
|
Hi,
die 4 Ebenen ergeben in Summe genau die 4 Eckpunkte, wenn sie jeweils als Gleichungssystem mit 3 Gleichungen in 3 Variablen aufgefaßt werden;
jetzt von einem Eckpunkt ausgehen und ein einheitsvektorsystem basteln:
vect( AB )
vect( AC )
vect( AD )
jetzt folgende Bedingung aufstellen:
vect( 0P ) = vect( 0A ) + r * vect( AB ) + s * vect( AC ) + t * vect( AD )
punkt P ist genau dann außerhalb der Pyramide wenn einer der 3 parameter kleiner als 0 oder aber die summe aus r + s + t > 0,5 ist.
Gruß,
Walter
p.s. analogie in der Ebene:
Dreieck ( ABC )
vect( AB )
vect( AC )
vect( 0P ) = vect( 0A ) + r * vect( AB ) + s * vect( AC )
punkt P ist genau dann außerhalb des Dreiecks wenn einer der 2 Parameter < 0 ist, oder die Summe r + s > 0,5 ist;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
|
Stefan Krahl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 14:01: |
|
Vielen Dank für die rasche Antwort!
@Friedrich Laher: Das ist anschaulich total einleutend aber wie kann man die Volumen ausrechnen? Sind das die allgemeinen Formeln die als Lösung verlangt sind? Kann es etwas mit dem Vektorprodukt zu tun haben?
@Walter H.: Das verstehe ich leider nicht.
Ich hab versucht das in einem Dreieck zu verstehen schaffs aber nicht.
Wenn A(0|0), B(1|0), C(0|1) die Eckpunkte sind, dann ist doch AB=vect(1,0), AC=vect(0,1) ein Einheitsvektorsystem
P(0.1|0.8) liegt laut Zeichung im Dreieck aber OP=0.1*AB+0.8*AC und 0.1+0.8>0.5
Was hab ich falsch verstanden??
Außerdem hat der Lehrer gesagt wir sollen aufpassen weil das Zahlenbeispiel einen "entarteter Tetraeder"(??) gibt (was immer das heißen mag)
Bitte meldet euch noch mal!
MfG
Stefan Krahl
|
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 234
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 14:17: |
|
Hi Stefan,
Danke, daß Du mich erinnerst, wußte da is was faul;
nit 0,5 sondern 1 darf die Summe nicht übersteigen, damit der Punkt innerhalb ist;
(da wärst aber selber auch d'rauf gekommen, oder?)
vect(OX) = vect(0A) + t * vect(AB) + (1-t) * vect(AC)
mit 0 <= t <= 1 folgt X element der Strecke BC
mit t = 0 oder t = 1 erhältst Du jeweils die Punkte B und C und mit Werten dazwischen die anderen Punkte;
Jetzt ist es klar;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
|
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 594
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 16:26: |
|
@Stefan:
mit
ZU KOMPLIZIERT ...
begann ich meinen Beitrag, um sicher weitere Aufmerksamkeit auf Deine Frage zu lenken - aber wahrscheinlichen arbeiteten Walter und ich
ohnehin gleichzeitig daran.
Man muß eben alle Tet.Eck-Punkte und alle Abstände der Tet.Punkte von den zugehörigen Basisebenen, des zu untersuchenden P von den
den Ebenen berechnen.
Dann hat man für alle Pyramiden die zur Volumsberechnung nötigen Daten - auf die harte Tour. Ich habe es nicht
durchgerechnet.
Die
Vektorgurus
bieten
bestimmt elegantere Lösungen mit Vektorprodukt ( soll ein "Spatprodukt" geben )
Inzwischen hab ich Walters Methode auch verstanden und auch bemerkt daß r+s[+t] <= 1
gelten
muß ( sehr einfach zu sehen an einem gleichseitigem 3eck oder regulärem Tetrateder, jeweils Kantenlänge = 1, auf die alle nicht entarteten
Fälle o.B.d.A. abbildbar sind )
und
hätte das jetzt auch gepostet.
ENTARTUNG tritt ein wenn die Ebenen nicht tatsächlich einen Tetraeder umschließen, also parallele oder identische
Paare enthalten, oder 3 Ebenen eine Gerade gemeinsam haben, oder 3 normal auf eine sind.
(Beitrag nachträglich am 17., Oktober. 2002 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
|
Stefan Krahl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 17:04: |
|
Hallo,
hab jetzt Walters Methode (hoffentlich) auch verstanden. Aber beim Rechnen mit dem Zahlenbeispiel kommt bei mir folgendes heraus: 3 Eckpunkte A(-7/5 | -3/5 | 2/5) , B(1/35 | 29/35 | 114/35) , C(-19/10 | 49/10 | 9/10) und für (I)(II)(III) erhalte ich keinen Schnittpunkt. Das wird wohl die "Entartung" sein die Friedrich gemeint hat (wie sieht denn dieser entartete Tetraeder aus? Kann man das als Funktionsplot zeichnen lassen?).
Wenn ich aber keinen 4.Eckpunkt habe scheitern doch beide Methoden. Ein "Innen" und "Außen" gibt doch trotzdem, oder??
Könnt ihr mir bitte das Zahlenbeispiel erklären (so dass ich es verstehe; Koordinaten für ein P innen ein P' außen)!
MfG
Stefan |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 235
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 17:23: |
|
Hallo Stefan,
Du hast immer 4 Eckpunkte bei einem Tetraeder, notwendigerweise ergeben jeweils 3 Punkte eine Seitenfläche;
Hast Du das ganze etwas anderes gegeben, muß es eine rechnerische Lösung für alle 4 Punkte geben;
Willst Du mein Verfahren z.B. bei einem Oktaeder anwenden, so zerlegst Du diesen Körper in paarweise disjunkte Tetraeder, und dann gilt ja: der Punkt P ist genau dann außerhalb, wenn er in keinem Tetraeder innerhalb ist; und die Umkehrung: der Punkt P ist genau dann innerhalb, wenn er innerhalb eines Tetraeders ist;
(ich weiß dies ist im Raum etwas kompliziert, in der Ebene gedacht ist es einfacher eine Fläche in Teildreiecke zu zerlegen - z.B.: ein Deltoid)
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
|
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 595
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 17:57: |
|
wenn es nur 3 Schnittpunkte gibt, stehen 3 Ebenen alle im gleichen Winkel zur 4ten, die 4te schneidet ein "unendliches" Prisma in 2 Teile. Oder man stellt sich vor die 3 parallelen Kanten des Prismas treffen sich beiderseits der 4ten Ebene im Unendichen. "IM" "Tetraeder" liegt ein Punkt dann, wenn er im Prisma liegt, also in dem 3eck, das die 3 Ebenen aus einer Ebene parallel zur 4ten, die den Punkt enthält, schneiden.
OB
man aber auch noch ein "IM" definieren kann, wenn von den 3 Ebenen auch noch ein Paar parallel ist, bezweifle ich.
(Beitrag nachträglich am 17., Oktober. 2002 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
|
Stefan Krahl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 18:22: |
|
Hallo!
@Walter: Huch! Bitte kein Oktaeder, ich wär schon froh wenn ich das Tetraeder kapieren tät. Aber du hast vollkommen recht wenn du sagst "...dies ist im Raum etwas kompliziert..."
@Friedrich: Danke, das mit dem "unendlichen" Prisma glaube ich zu verstehen (bild ich mit zumindest ein). Aber ganz konkret: liegt beim Zahlenbeispiel P(1|2|3) jetzt innen oder außen??? Ich sehe keine Möglichkeit das festzustellen.
(in meinem kopf kreisen jetzt schon bunte Oktaeder um unendliche Prismen... ;-)
MfG
Stefan
|
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 236
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 19:01: |
|
Hi Friedrich,
A Prisma, is keine Pyramide, daher war des a dummes Beispiel;
A Tetraeder (3seitige Pyramide) hat immer 4 Eckpunkte im endlichen
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
|
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 596
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 19:03: |
|
HILFT NOCH JEMAND BITTE?
und wenn nicht:
@Stefan:
entschuldige bitte, wenn ich jetz zu faul zum
rechnen bin ( und auch Angst habe, wieder Rechenfehler zu machen
)
aber:
ermittle doch den Richtungsvektor R einer der
Schnittgeraden ( durch A, B, oder C, - müssen ja alle gleich sein ) die einander nicht schneiden.
Dann
löse
P = A + r*(B-A) + s*(C-A) + t*R;
t
darf dann beliebig sein ( das Vorzeichen entscheidet, in welcher Prismahälfte, wenn überhaupt, P liegt ),
und
es muß nur (r >= 0) und (s >= 0) und r + s <= 0
für
"P im Prisma" gelten.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
|
genervter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 22:17: |
|
Solange es hier Pupupfenster gibt wird, gibt es nur von Streikbrechern eine Antwort! |
|
