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Kurvendiskussion: ft(x)=0,5(t^-2)x-2(...

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Nadice (Nadice)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 20:22:   Beitrag drucken

Hallooo, wer kann mir schnell bei meiner Aufgabe helfen, ich bekomm den Anfang nicht hin.
Die Funktion ist mir zu schwer, daher hab ich mit den Ableitungen so meine Schwierigkeiten.
Also: Für jedes t>0 ist eine Funktion ft gegeben durch die Gleichung:
ft(x)=0,5*(t^-2)*x-2*(t^-1)+2*(x^-1); x ungleic 0; ihr Schaubild sei Ct. Die Kurve K ist gegeben durch die Gleichung: y=2*x^-1; x>0.
Untersuchen Sie Ct auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Hoch-und Tiefpunkte, sowie auf Asymptoten. Zeichnen Sie C1 samt Asymptoten ein und zeichnen Sie außerdem K in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Wer kann mir bitte dabei helfen? Ich komm alleine einfach nicht weiter.
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Georg
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 22:43:   Beitrag drucken

Einen Teil schaffe ich heute noch :

gemeinsame Punkte mit der x-Achse
0,5*(t^-2)*x - 2*(t^-1) + 2*(x^-1) = 0 | * x
0,5*(t^-2)*x² - 2*(t^-1)*x + 2 = 0 | * 2*t²
x² - 4*t*x + 4*t² = 0
( x - 2*t )² = 0
x = 2*t

Hoch- und Tiefpunkte
f(x) = 0,5*(t^-2) * [ x - 4*t + 4*t²*(x^-1) ]
f'(x) = 0,5*(t^-2) * [ 1 - 4*t²*(x^-2) ]
f'(x) = 0 ==> 1 - 4*t²*(x^-2) = 0 | * x²
x² - 4*t² = 0
x = 2*t oder x = -2*t

f''(x) = 0,5*(t^-2) * [ 8*t²*(x^-3) ]
f''(2*t) = 0,5*(t^-2) > 0 ==> Tiefpunkt
f''(-2*t) = -0,5*(t^-2) < 0 ==> Hochpunkt
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conny
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 22:58:   Beitrag drucken

Hi
Also Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:
1/2t²*x -2/t +2/x=0
Hauptnenner: tx²:
ft=(0,5x²-2tx+2t²)/t²x
Nullstellen wenn Nenner 0 ist:
0,5x²-2tx+2t²=0 |*2
x²-4tx+4t²=0
(x-2t)²=0
x=2t
Nullstelle: (2t/0)
Ableitungen:
f'(x)=1/2t² -2/x²
f''(x)=4/x³
Extrempunkte:
1/2t² -2/x²=0
1/2t²=2/x²
x²=4t²
x1=2t
x2=-2t
Art der Extrempunkte:
f''(2t)=4/8t³---> größer 0-->Maximum
f''(-2t)=-1/2t³-->kleiner 0--> Minimum
Assymptoten:
für x-->unendlich lim ft(x)=0,5/t²*x-2/t
--> schiefe Assymptote y=1/2t²*x-2/t
senkrechte Assymptote:
x=0
Mit dem Schaubilder einfügen klappt das hier irgendwie nicht sonst hätte ich dir das noch geschickt.
Conny
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Georg
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 23:06:   Beitrag drucken

Conny,
denke immer daran, dass f''>0 bedeutet, dass f' zunimmt, f also erst fällt und dann steigt, also ein Minimum hat.
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Nadice (Nadice)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 23:31:   Beitrag drucken

Vielen lieben Dank an Euch alle beide. Ihr seid SUPER! Ich brauche die Aufgabe für morgen (heute) früh und sitze schon seit Stunden dran. Vor allem danke ich euch für die Ausführlichkeit, da kann ich´s auch nachvollziehen. Klasse!
Tschüß,bis zum nächsten verzweifelten Matheabend (und der kommt bestimmt bei mir).
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conny
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Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 12:30:   Beitrag drucken

Ja ich weiß war nur verwechselt weil es schon so spät war.

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