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Beitrag |
    
Sara
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 17:57: | 
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Hallo!
Ich brauche bei der folgenden Aufgabe so schnell wie möglich Hilfe!
Die Funktion lautet:
F(x)=e^(1/2)x+ e^(-x)
Wer kann mir helfen, eine komplete Kurvendiskussion zu dieser Funktion zu erstellen?
Es eilt wirklich sehr; danke für eure/ deine Hilfe!
Sara |
Rainer Müller
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 21:33: |
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F(x)=e^(1/2)x +e^(-x)
Ableitungen:
------------
F'(x)=1/2*e^(1/2)x - e^(-x)
F''(x)=1/4*e^(1/2)x + e^(-x)
F'''(x)=1/8*e^(1/2)x - e^(-x)
Nullstellen:
------------
F(x)=0
e^(1/2)x+e^(-x)=0 : da e^(egal) >0 also positiv ist, gibt es keine Nullstellen. F liegt über der x-Achse !
Extrema:
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F'(x)=0
1/2*e^(1/2)x - e^(-x)=0 |*e^x
1/2*e^(3/2)x -1 =0 |+1 |*2
e^(3/2)x=2 | ln()
3/2x=ln(2) |*2/3
x=2/3*ln(2)
F''(2/3*ln(2))>0, da die e-Funktion stest positiv ist
----> Tiefpunkt
F(2/3*ln(2))=e^(1/2*2/3*ln(2))+e^(-2/3*ln(2))
=e^(1/3*ln(2))+e^(-2/3*ln(2))
=e^(ln(2^(1/3))+e^(ln(2^(-2/3))
=2^(1/3)+2^(-2/3)=2^(1/3)+1/(2^(2/3)) .......erweitern mit 2^(1/3)....
=2^(1/3)+2^(1/3)/2=3/2*2^(1/3)
(oder 1,5 * dritte Wurzel aus 2)
Tiefpunkt T(2/3*ln(2) | 3/2*2^(1/3))
also ungefähr T(0,462 | 1,890)
Wendepunkte:
------------
gibt es keine, da wie gesagt F''(x)>0 gilt (ständige Linkskurve)
Symmetrie: keine (keine bekannte erkennbar), da es zum Beispiel nur den unsymmetrisch liegenden Tiefpunkt T gibt (s.o.).
Asymptoten/Verhalten für |x|---->oo:
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x----> oo : F(x)-----> oo,
(da e^(1/2)x ---->oo und e^(-x)---->0)
x---->-oo : F(x)-----> oo
(da e^(1/2)x---->0 und e^(-x)----->oo)
Keine schiefen oder waagrechten oder senkrechten Asymptoten (Definitionsbereich ist R)
Zeichnung:
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