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Beitrag |
    
Johannes
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 12:01: | 
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Ich hab ein Problem.Kann mir jemand dabei helfen?
Und zwar:
Gegeben ist die Funktion
h:g- h(x)= ln e^x:1-e^x mit maximalem Definitionsbereich Dh. Ihr Graph heißt Gh.
a) Weisen Sie nach, daß h die Unkehrfunktion der Funktion g(x)= ln e^x:e^x+1 ist.
b) Geben Sie Dh an.
Vielen Dank schon mal! |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 18:06: |
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Hallo Johannes, könntest Du die Funktion exakter formulieren?
Denn ln(ex)=x
heißt es: ex/ex+1 oder ex/(ex+1) oder ex/ex+1? |
Johannes
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 18:29: |
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Hi Leo,
sorry, die Funktion heißt
e^x/(e^x+1)
Ich hoffe, es ist so jetzt besser zu verstehen. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 19:11: |
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a) Für diese Umkehrfunktion h-1 kommt bei mir die Funktion h: y = ln(x)-ln(1-x)
Für diese Funktion wäre Dh=Wh-1= {x| 0<x<1} |
Rainer Müller
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 22:15: |
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Eine volle Untersuchung ist ganz hilfreich:
wegen g'(x)=e^x/[(e^x+1)^2] gilt : g ist streng wachsend und damit umkehrbar.
Jetzt sollte man erstmal den Wertebereich von g bestimmen:
da g in ganz R definiert ist und streng wächst,
nimmt g jeden Wert zwischen folgenden Grenzwerten
des Definitionsbereichs an:
x----> -oo : g(x)---->0 , wegen e^x --->0
und
x----> +oo : g(x)=1/(1+1/e^x)----->1
Das heisst, der Wertebereich von g ist W=]0;1[
Jetzt löst Du y=e^x/(e^x+1)
nach x auf:
y=e^x/(e^x+1) | *(e^x+1)
y*(e^x+1)=e^x
y*e^x+y=e^x |-y*e^x
y=e^x-y*e^x und klammere e^x aus :
y=e^x* (1-y) |: (1-y); 0<y<1 wegen W=]0;1[, Du teilst also nicht aus Versehen durch Null
y/(1-y)=e^x |ln()
ln(y/(1-y))=x
jetzt vertausche x mit y und so erhält man dann die Umkehrfunktion
h(x)=ln(x/(1-x))=ln(x)-ln(1-x), wie vom Kollegen schon angegeben.
Ausserdem ist der Definitionsbereich von h gleich dem Wertebereich von g, also Dh= ]0;1[ = Wg, also wie von Leo angegeben.
Der Wertebereich von h ist ausserdem gleich dem Definitionsbereich von g, also Wh = R = Dg. |
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