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Peter v.H. (Logitwo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. März, 2001 - 22:26: | 
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Ja, ich weiß solche Aufgaben gibt´s schon einige hier. Doch leider komm ich bei folgenden Gleichungen nicht weiter. Selbst mein TI-89 hat da so seine Probleme.
1) z^4-4z^3+6z^2-4z+5=0
2) Betrag von(z-i)=Betrag von(z*-i)
z* = konjugiert komplexe Zahl
Wäre echt toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Hab am Freitag ´ne Klausur.
Peter |
Quaternion (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 03:19: |
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1)
Durch einfaches probieren erhälst du sofort i und -i als Lösungen deiner Gleichung. Wenn du diese zwei hast, dürfte es kein Problem sein, auf die beiden anderen Lösungen 2-i und 2+i zu kommen.
Alternativ gibt es natürlich eine Lösungsformel für alle Polynome vierten Grades (findest du in diversen Mathebüchern). Auch damit solltest du die Lösung errechnen können.
2)
Diese Ungleichung ist offensichtlich erfüllt, wenn Imz = 0:
|z-i|=|z*-i|
|a+i(b-1)|=|a-i(b+1)|
Ö(a²+(b-1)²)=Ö(a²+(b+1)²)
Dies gilt offensichtlich nur, wenn b = 0. |
Peter v.H. (Logitwo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 08:47: |
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Ersteinmal vielen Dank Quaternion.
Aufgabe 2 ist klar, aber bei Aufgabe 1 hab noch so meine Probleme. Mit der geratenen Lösung muß man doch nun Polynomdivison machen. Aber das bekomm ich irgendwie nicht hin.
Falls Du Lust und Zeit hast, wäre es echt toll, wenn Du mir das noch mal genau erklären oder evtl. den Rechenweg darstellen könntest.
ciao
Peter |
Rainer Müller
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 00:14: |
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Mit einer erratenen komplexen Lösung (hier i)
ist auch die konjugiert komplexe Zahl (hier -i) immer auch eine Lösung.
Dann machst Du eine Polynomdivision mit dem Produkt (z-i)*(z+1)=z^2+1:
(z^4-4z^3+6z^2-4z+5) : (z^2+1) = z^2-4z+5
z^4 + z^2
--------------
-4z^3+5z^2-4z+5
-4z^3 -4z
-------------------
5z^2 +5
5z^2 +5
-------------------
0
Jetzt muss noch
z^2-4z+5=0
gelöst werden mit der Mitternachtsrormel:
z1\2=(4+\-wurz(-4))/2 =
=(4+\-2*wurz(-1))/2=
=2+\-i
Also genau die Lösungen, die der Kollege gesagt hat.
cu |
Sebastian (Base)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 16:02: |
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Hallo ,
wieso teilt man bei der polynomdivision durch das produkt (z-i)*(z+1)=z^2+1 und nicht durch (z-1) ??
Bitte um antwort da morgen klausur, danke.
Sebastian |
Rainer Müller
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 21:51: |
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Du müsstest durch (z-i) teilen, [nicht durch
(z-1) : 1 ist doch keine Nullstelle)]
Da es nicht so leicht ist, durch (z-i) zu teilen, teilst Du wie angegeben besser durch (z-i)*(z+i)
=z^2+1 , denn da kommt kein 'i' vor ! |
Florian G. Pflug
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Januar, 2002 - 03:31: |
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Ad 1)
Durch hinschauen wirds noch wesentlich einfacher:
x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5=0
Die Koeffizienten 1,-4,6,-4 "riechen" nach binominalkoeffizienten - und tatsächlich (Herauszufinden z.B mittels Pascalschem Dreieck)
x^4 - 4*x^3 + 6*x^2 - 4*x + 5 =
(x - 1)^4 + 4=0
(x - 1)^4 = -4
(x - 1) element aus {1+i, 1-i, -1+i, -1-i}
x element aus {2+i, 2-i, i, -i} |
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