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Patrick
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 13:42: | 
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Hallo!
Ich habe eine Frage, die nicht schulisch zu lösen ist, sondern die mich privat interessiert, da ich mich für Glücksspiele interessiere.
Wir nehmen an, es gäbe ein Glücksspiel, bei dem täglich ein Hauptgewinn auf eine bestimmte Losnummer fällt. Es seien 2.500.000 Losnummern im Spiel. Nun möchte ich gerne errechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, im Laufe eines Jahres (365 Tage) mindestens einen Hauptgewinn zu erreichen.
Ich denke, dass sich das mit der Bernoulli-Formel lösen lässt, allersings bin ich aus dem Thema schon ein bisschen raus..
Mein Lösungsansatz:
B(n; p; k)="n über k" * p^k * (1-p)^n-k
B(365; 4*10^-7; 1)=365 * 4*10^-7 * 0,99985441
B=1,459787439*10^-4
=0,014597874%
Ich habe irgendwie das Gefühl, dass dieses nicht ganz korrekt ist, denn wenn ich mich richtig erinnere, gibt "k" die GENAUE Anzahl der Treffer an.
Wie kann ich die Formel umstellen, dass ich MINDESTENS einen Treffer habe?
Ich bedanke mich ganz herzlich für eure Antwort(en)!!!
Entweder hier im Forum oder per Mail an:
mail@patrick-feustel.de
Vielen Dank,
Patrick |
TomD
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 16:56: |
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Also meine Sternstunden in der Stochastik sind auch schon etwas her, aber ich würde mal ne ganz schnelle praktikable Lösung vorschlagen.
Also, die Situation ist doch die dass Du 365 Lose besitzt. Die Chance jedes einzelnen Loses ist 1/2.500.000. Die Chance Deiner 365 Lose ist also 365 * 1/2.500.000.
Gruß TomD |
Patrick
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 18:21: |
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Ich glaube, da ist ein Missverständiss aufgetreten.
Ich besitze keine 365 Lose, sondern genau eine Losnummer. Die Lotterie läuft halt 365 Tage. |
Patrick
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 20:58: |
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Des weiteren würde deine Rechnung ja bedeuten, dass ich nach 2.500.000 Tagen eine Gewinnwahrscheinlichkeit von genau 100 % habe, was ja nicht sein kann. Denn ein Gewinn ist zwar nach so einer langen Zeitspanne äußerst wahrscheinlich, aber nicht garantiert! |
Bully
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 01:48: |
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Hallo Patrick,
p=1 / 2 500 000
sei X: Anzahl Hauptgewinne
gesucht: P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1 - B(365;p;0)
B(365;p;0) = b(365;p;0) = (1-p)^365 ~ 0.999854
=> P(X>=1) ~ 0,0146%
war schon richtig.
Übrigens: da p sehr klein ist, kann hier auch die Poisson-Näherung angewendet werden, um P(X=0) zu berechnen:
P(X=0) ~ µ^0/0! * exp(-µ), wobei µ=n*p = 365 / 2 500 000
also
P(X=0) ~ exp(-365 / 2 500 000)
Da der Exponent 365 / 2 500 000 ebenfalls sehr klein ist, kann wiederum angenähert werden:
exp(x) ~ 1 + x, also:
P(X=0) ~ 1 -365 / 2 500 000
und damit:
P(X>=1) = 1-P(X=0) ~ 1-( 1 -365 / 2 500 000) = 365 / 2 500 000 = 0,000146
wenn ich richtig überlegt habe, hieße das, dass du unter mehr als 1/0,000146 = 6849 Jahren mal ein Jahr dabei hast, in dem mindestens ein Hauptgewinn auf eine vorher bestimmte Losnummer fällt.
Lohnt sich das also? |
Patrick
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 10:25: |
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Danke Bully, für deine Ausführungen.
Ich habe auf einer anderen Seite folgende Lösung angeboten bekommen, die viel einfacher erscheint und in sich auch irgendwie logisch. Ob mir jemand sagen kann, ob die (auch) richtig ist?
Hier ist sie:
1-"B strich"
= 1-(2.499.999/2.500.000)^365
= 0,0146%
Das Ergebnis ist identisch .. und dieser Weg ist wesentlich einfacher und nachvollziehbarer.. |
Bully
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 15:58: |
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Hi Patrick,
alles, was in meinem Beitrag unterhalb von
"P(X>=1) ~ 0,0146%
war schon richtig."
steht, kann weggelassen werden.
Somit decken sich unsere beiden Ergebnisse.
Die darauffolgende Anwendung von Poisson sollte nur eine Erklärung dafür sein, warum sich dasselbe ergibt, wenn man statt
1 - (2.499.999/2.500.000)^365 einfach 365 / 2 500 000 ausrechnet. Es kommt dasselbe heraus, und insofern hat TomD mit seiner "noch einfacheren Formel" schon recht gehabt, nur sollte es wohl besser heißen:
"Die Chance bei 365 Lose Ziehungen ist also 365 * 1/2.500.000."
Diese "vereinfachte Formel", die bei TomDs Ergbenis zugrundeliegt, gilt näherungsweise allerdings nur für wenige Ziehungen, denn wie du schon selbst sagtest, hätte man damit nach 2.500.000 Tagen eine Gewinnwahrscheinlichkeit von genau 100 %. Fragt man sich aber nur nach der Wahrscheinlichkeit für 365 Tage, oder auch noch z.B. für 730 Tage, dann macht der Fehler kaum was aus.
Verrätst du mir bitte noch, auf welcher Seite du die Lösung angeboten bekommen hast? |
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