| Autor |
Beitrag |
    
Dieter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Oktober, 2002 - 19:05: | 
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Aufgabe 2. Teil:
Bestimme diejenige Parallele zur 1. Achse, die das Parabelsegment in zwei inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt.
Gegeben & errechnet aus dem 1. Teil der Aufgabe:
Inhalt:
Inhalt zwischen der Parabel y=-(x^2)+9 und der 1. Achse: 36 FE
Nullstellen der Parabel: +3, -3
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Weiß nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Ich weiß, dass 3,33333 für die Parallele herauskommen muss.
Danke für eure Hilfe. |
Klaus (kläusle)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Oktober, 2002 - 21:32: |
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Hallo
Eine Skizze macht es einfacher...
Eine Parallele zur 1.Achse (x-Achse) hat die Form y = a (d.h. der y-Wert ist konstant)
Da die Gerade die Parabel schneidet, gibt es 2 Teilflächen, für die gilt:
Obere Fläche:
A = Integral(obere Funktion - untere Funktion)
= Integral(-x2 + 9 - a)
Stammfunktion: [-1/3 * x3 + 9x - ax]
Untere Fläche:
A = Integral(a + x2 - 9)
Stammfunktion: [ax + 1/3 + x3 - 9x]
Integrationsgrenzen:
-x2 + 9 = a
x = +oder- Wurzel(9-a)
obere Fläche:Integrieren von -Wurzel( 9-a) bis Wurzel(9-a) ergibt: Wurzel(9-a) ist ab hier einfach Wurzel (weniger zu schreiben)
A = -1/3 * Wurzel3 + 9Wurzel - a*Wurzel - (-1/3*(-Wurzel)3 - 9Wurzel + a*Wurzel)
= -1/3*Wurzel3 + 9Wurzel - a*Wurzel - 1/3*Wurzel3 + 9Wurzel - a*Wurzel
= -2/3*Wurzel3 + 18Wurzel - 2a*Wurzel
untere Fläche:
A = 1/3*Wurzel3 - 9Wurzel + a*Wurzel - (1/3*(-Wurzel)3 +9Wurzel - a*Wurzel)
= -18Wurzel + 2a*Wurzel
Nun setzt du beide Flächen gleich und löst nach a auf:
-18Wurzel + 2a*Wurzel = -2/3*Wurzel3 + 18Wurzel - 2a*Wurzel |:Wurzel
-18 + 2a = -2/3 * (9-a) + 18 - 2a |-2a; -18
-36 = -6 + 2/3 * a - 4a
-30 = -3/1/3 * a
a = 9
Hm...
Wo hab ich mich jetzt verrechnet?
Wer hilft?
Aber wenigstens kennst du nun das Prinzip...
MfG Klaus
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 153
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Oktober, 2002 - 14:13: |
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Die Parabel ist zur y-Achse symmetrisch, daher genügen die Flächenbetrachtungen zwischen 0 und 3 (bei der gegebenen Parabel) bzw. zwischen 0 und sqrt(a'), wenn die x-Achse um a' nach oben verschoben wird.
Es wurde zur leichteren Rechnung 9 - a = a' gesetzt!
Es ist auch nicht schlecht, zuerst mal die ganze Fläche zu ermitteln:
A = Int[0;3](-x² + 9)dx = (-x³/3 + 9x][0;3] = 18 E²
Die halbe Fläche, also 9 E², muss die Parabel bei der Verschiebung der x-Achse um +a' (nach oben) zwischen 0 und ihrer Nullstelle mit der verschobenen x-Achse haben. Die Parabel hat dort die Gleichung y = -x² + a', ihre besagte (pos.) Nullstelle ist sqrt(a').
Es ist somit:
Int[0;sqrt(a')](-x² + a)dx = 9
(-x³/3 + a'x)[0;sqrt(a')] = 9
-a'*sqrt(a')/3 + a'*sqrt(a') = 9
2*a'*sqrt(a')/3 = 9
a'*sqrt(a') = 27/2 | ³Wurzel
sqrt(a') = 3/³Wurzel(2)
a' = 9/³Wurzel(4) = 5,67 E --> a = 3,33 E
a = 3,33 E ist gleichzeitig der gesuchte Abstand der Parallelen zur ursprünglichen x -Achse bei der gegebenen Parabel!
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 14., Oktober. 2002 von mythos2002 editiert) |
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