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Sizilianer
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Oktober, 2002 - 18:27:   Beitrag drucken

Hallo, ich habe eine Frage zur Positivität der Summe

Soo n=1ln(n)/n^s


Dazu habe ich deren Zustandekommen in 4 Einzelaussagen aufgeteilt, von denen ich wissen möchte, ob eine davon falsch ist:


(1) ln(n) ist positiv für alle n>1
(2) n^s ist positiv für alle n>0

Unter der Annahme, dass (1) und (2) richtig sind, stelle ich dann die Behauptung (3) auf:
(3) ln(n)/n^s > 0 für alle n>1

Unter der Annahme, dass (3) richtig ist, stelle ich dann die Behauptung (4) auf:
(4) Die Summe (n=1 bis unendlich) aller ln(n)/n^s ist positiv.


Die Funktion f sei definiert durch: f(s) = Soo n=1ln(n)/n^s

(5)
wegen (4) gilt für f:
f(s) > 0 für alle s


Kann mir jemand sagen, ob eine der Aussagen (1) bis (4) falsch ist, und wenn ja, warum?
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Christian Schmidt (christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 598
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 17:50:   Beitrag drucken

Hi Sizilianer

Ich schätze mal für s sind "nur" reelle Zahlen zulässig, dann stimmen deine Behauptungen.

MfG
C. Schmidt
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Sizilianer
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 19:05:   Beitrag drucken

Hi Christian,
Danke, dass du so schnell geantwortet hast.
Ich hoffe, du hast alles ohne Bedenken nachvollzogen, weil meine nächste Frage unten darauf aufbaut, dass oben alles wahr ist.


[Zwischenbemerkung:
[Klar, beim Potenzieren mit komplexen Exponenten
[könnten negative Zahlen entstehen.
[
[Aber wenn der Exponent s einen Imagniärteil besäße,
[der ungleich Null ist:
[Wäre es bei einem ganzzahligen n,
[das mit einem solchen s potenziert wird,
[überhaupt möglich, dass n^s weiterhin reell ist?
[Der Begriff "positiv" könnte ja nur bei einem reellen n^s einen Sinn haben.]



Das hat aber meiner Meinung nach sowieso nichts mit dem eigentlichen Problem zu tun,
das ich mit der Aussage von "egal" habe:

Auf
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244 /127906.html#POST112526

hat "egal" hinter "zu 1)" geschrieben:

z'(s) < 0 gilt schon für weitere Werte von s, aber nicht für alle reellen s.

Offensichtlich lässt sich mein f(s) von hier oben mit -z'(s) identifizieren.
Mit anderen Worten:
genau dann, wenn für alle s€IR gilt: f(s) > 0,
dann ist doch z'(s) < 0

oder?


MfG
Sizilianer


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egal
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 07:41:   Beitrag drucken

Hi Sizilianer,

nochmal: Dein Trugschluss passiert in Aussage (4).

Natürlich ist die Summe positiver Summanden positiv, aber die Reihe ist für s <= 1 divergent und dein f(s) damit nicht wohldefiniert (f(s) = +¥ für alle s <= 1)! Die Ableitung der Zetafunktion kann man nur für s > 1 mit f(s) identifizieren; für s < 1 ist die Zetafunktion und ihre Ableitung anders definiert (es gibt verschiedene Summen- und Integraldarstellungen bzw. Funktionalgleichungen).

Betrachte einfach konkrete Werte für s < 1 in deinem f(s):

f(0) = S¥ n=1 ln(n) ==> divergent!

f(-1/2) = S¥ n=1 ln(n)*√n ==> noch divergenter ;-)

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Sizilianer
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 14:11:   Beitrag drucken

Hi egal,

Danke für die Klarstellung!

ich habe es jetzt so verstanden:
Die Reihendarstellung von z(s) bzw. z'(s) gilt nur für Re(s) > 1, weil die Zetafunktion für s < 1 anders definiert ist als für s > 1.
Für s=1 ist z(s) gleich der harmonischen Reihe, ja? - z(1) ist dann also ebenfalls +unendlich, ja?

-------------------------------------------------
kleine Frage noch:
du schreibst:
".. ist die Zetafunktion und ihre Ableitung anders definiert"
ich nehme an, dass du nicht meinst, dass ihre Ableitung auch noch definiert werden muss, wenn die Funktion selbst schon definiert ist, oder?
Die Ableitung könnte doch aus der dann gültigen Definition von z(s) berechnet werden?
-------------------------------------------------

Fazit:
Aufgrund ihrer Definition darf ich also bei der Zetafunktion nicht davon sprechen, dass z'(s) für alle s negativ ist, weil sie eben nicht für alle s gleichartig definiert ist.

Ok. Akzeptiert.


Jetzt komme ich mit "meiner" Definition von f(s) und sehe ein, dass ich das nicht lückenlos definieren kann, weil eben für s<=1 alle Funktionswerte gegen +unendlich gehen.
Aber wenn f(s) für alle s gegen +unendlich geht, und es nicht etwa ein s gibt, für das f(s) linksseitig gegen +unendlich und rechsseitig gegen -unendlich geht (oder umgekehrt), so wie bei f(x)=1/x für x=0, wenn also wirklich kein einziger Funktionswert in den negativen Bereich geht, darf ich dann hier nicht sagen, also nur hier bei dieser Rechnung, ganz ohne den Zusammenhang zur Zetafunktion, dass f(s) nie negativ wird, egal, ob es "unsauber" definiert ist oder nicht?

Also sozusagen:
f(1) geht gegen unendlich, und zwar positiv
f(0) geht noch viel positiver gegen unendlich ;-)
?

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