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Beitrag |
    
chris
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. März, 2001 - 15:08: | 
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Gegeben sei w=f(z)=(z+i)/(z-i)
a) Welche Punktmenge wird auf den Einheitskreis |z|=1 abgebildet?
b) Welches Bild hat die Gerade durch die Punkte C(1+i) und D(2+2i)? |
Sandra (Sandra)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. März, 2001 - 16:05: |
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A) W
B)E |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 13:35: |
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Hi Chris,
In der Sprechweise der Funktionentheoretiker liegt
eine lineare Funktion vor.
Die allgemeine Form einer solchen Funktion lautet
w = f(z) = ( a z + b ) / ( c z + d ) , wobei a , b , c , d
komplexe Zahlen mit einer von null veschiedenen
Determinante ad - bc bedeuten
Die Umkehrfunktion lautet:
z = (d w - b ) / ( - c w + a)
Solche linearen Funktionen haben bemerkenswerte
Eigenschaften:
1.
Die volle z - Ebene , d.h. die Ebene einschliesslich
des unendlich fernen Punktes wird umkehrbar eindeutig
und konform auf die volle w-Ebene abgebildet..
Diese Eigenschaft gilt für alle linearen Funktionen und nur
für solche und ist somit eine charakteristische Eigenschaft.
2:
Bei der durch eine lineare Funktion induzierten Abbildung
gehen Kreise der z-Ebene in Kreise der w-Ebene über
und umgekehrt.
Die Abbildung ist im weitesten Sinn kreistreu, indem auch
Geraden als Kreis aufzufassen sind.
So geht - wie wir zeigen werden- die Gerade der Teilaufgabe b )
in einen eigentlichen Kreis der w-Ebene über
Um die vorgelegte Abbildung in den Griff zu bekommen, schlagen wir
zwei verschiedene Wege ein
A) Reelle Schreibweise der Abbildung
B) Zerlegung der Abbildung in mehrerer einfach Abbildungen.
Zu A.
Sei z = x + i y und w = u + i v
Dann gilt gemäss der Abbildungsvorschrift:
u + i v = [ x + i (y+1)] / [ x + i(y - 1)]
Damit der Nenner reell wird, erweitern wir den Bruch mit der
konjugiert komplexen Zahl des Nenners , d.h. mit [x - i (y-1)]
Trennt man noch Realteil und Imaginärteil fein säuberlich, ,
so erhält man die beiden Abbildungsgleichungen:
u(x,y) = {x^2+y^2-1}/ {x ^ 2 + y ^ 2 +1- 2 y}
v(x,y) = 2 x / { x ^ 2 + y ^ 2 + 1 - 2 y ) ..................................................(1)
Erkenntnisse
i) Der Kreis x^2 + y^2 = 1 ( also z absolut gleich eins)
bewirkt u = 0 ; das ist die imaginäre Achse der w-Ebene.
ii) Die reelle Achse der z - Ebene (y = 0 ) geht
über in den Einheitskreis u ^ 2 + v ^ 2 = 1 der w-Ebene .
Begründung:; wegen y = 0 kommt
u = (x^2-1) / (x^2 +1) , v = 2x / ( x^2 + 1)
Durch Quadrieren und Addieren entsteht die Summe 1
iii) Bilder O' , C' , D' der Punkte
O (0/0 ), C(1/1), D(2/2), welche auf der Geraden g
der Teilaufgabe b) liegen:
Die Koordinaten der gestrichenen Punkte in der w-Ebene lauten
O ' (-1/ 0) , C ' (1/2) , D' (1,4 / 0,8)
iv) Das Bild der Geraden g aus Teilaufgabe b ) ist ein Kreis g'
durch die Punkte O ',C ',D '.
Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt auf der imaginären Achse
der w-Ebene im Punkt i1 ; k' geht auch durch den Einheitspunkt
1 auf der reellen Achse der w-Ebene wie man sofort auch daraus
schliesst, dass dieser Punkt der Bildpunkt des unendlich fernen
Punktes der z Ebene ist , durch den g wie jede andere Gerade geht.
Fortsetzung mit Teil B folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 14:32: |
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Hi chris ,
Der Bildkreis g' der Geraden g verhält sich im wahrsten Sinn
des Wortes konform, wie die folgenden Ueberlegungen zeigen:
- g schneidet den Einheitskreis abs (z) = 1 der z-Ebene
senkrecht; dasselbe macht der Kreis g' bezüglich der
imaginären Achse der w-Ebene , welche ja das Bild jenes
Einheitskreises ist.
Somit muss der Mittelpunkt von g' auf dieser imaginären
Achse liegen
- g schneidet die reelle Achse der z-Ebene unter
dem Winkel 45°.
Somit schneidet der Kreis g' den Einheitskreis der w-Ebene
abs(w) = 1 , der ja das Bild der x-Achse ist,
ebenfalls unter diesem Winkel
usw:
Teil B
°°°°°°
Wir zerlegen:
w = (z + i) / (z - i) = (z - i + 2i) / (z -i) = 1 + 2 i * 1 / (z - i)
Wir definieren die folgenden vier Abbildungen:
1.) z ' = z - i
Das ist eine Translation in Richtung der negativen imaginären
Achse der z-Ebene.
2.) z '' = 1 / z '
Das ist eine Spiegelung am Einheitskreis mit anschliessender
Spiegelung an der reellen Achse in der z' - Ebene
3.) z''' = 2 i * z ''
Das ist eine Drehstreckung. Zentrum O , Winkel 90° , Streckfaktor 2
Alles in der z'' -Ebene.
4.) w = 1 + z '''
Das ist eine Translation in Richtung der positiven reellen Achse
der z'''-Ebene
Bildet man die zusammengesetzte Abbildung, so erhält man
die vorgegebene Abbildung w = f(z) .
Es ist nicht schwierig., die bisher erläuterten Resultate mit dieser
Methode nachzuvollziehen.
Ich führe dies am Punkt C durch ( alle Ebenen liegen aufeinander)
Erste Abbildung : C (1/1) geht über in C ' (1/0)
Zweite Abbildung: C ' = C '' (Fixpunkt , warum?)
Dritte Abbildung C ''' (0 / 2)
Vierte Abbildung: C(1/2) als w- Bild von C
u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
chris
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 16:25: |
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Herzlichen Dank für die Hilfe!
gruss chris |
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