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Martin (martin0018)
Neues Mitglied
Benutzername: martin0018
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 11:09: | 
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Hallo ich bin nur Grundkurs und habe ein kleine Aufgabe zu lösen!
Gegeben sei die Funktion f:|R^1->[0,1], durch y=f(x)=(sin(x))^2
Geben sie ein Intervall an, in den die Funktion invertierbar ist und bestimmen sie mit dieser Einschränkung des Definitionsbereieches die inverse Funktion f^-1 |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 14:25: |
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Hallo,
die inverse Funktion einer explizit angegebenen Funktion y = f(x) erhält man (rechnerisch) grundsätzlich durch Vertauschung der Variablen und der Definitions- und Wertebereiche und wiederum Auflösung nach der nunmehr impliziten Variablen y.
y = f(x)
f(y) = x
y = f-1 (x); f -1 steht hier für die Bezeichnung der inversen Funktion.
Nach diesem rechnerischen Vorgang muss man in der neu erhaltenen Zuordnung (die nicht notwendigerweise a priori wieder eine Funktion sein muss), die neue Definitionsmenge abklären bzw. das Ergebnis so einschränken, damit die inverse Zuordnung wieder eine Funktion ist.
Dies ist hier der Sinn der Aufgabe.
f: y = sin²(x) Df = [0;1] D .. Definitionsbereich
x «-» y
sin²y = x
siny = +sqrt(x)
f -1: y = arcsin[sqrt(x)]
Der Definitionsbereich der neuen Funktion f -1 rekrutiert sich aus dem Wertebereich von f, der Wertebereich von f -1 ist der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion [0;1].
Deshalb ist bei der Quadratwurzel nur das positive Vorzeichen zulässig!
Der Wertebereich von f beginnt bei 0 und reicht bis sin²(1), es ist das Intervall [0;0,71].
In der Graphik ist dieser Zusammenhang klar erkenntlich.
Wir sehen, dass sich der Definitionsbereich der inversen Funktion f -1 nur noch von 0 bis sin²(1), d.i. von 0 bis 0,71 erstreckt. Der Funktionswert von f -1 am rechten Rand dieses Intervalls ist 1.
Df -1 = [0; sin²(1)]
Der Graph der inversen Funktion ergibt sich durch Spiegelung an der 1. Mediane (m1 .. Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten).
Gr
mYthos
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