    
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 140
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 23:21: | 
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Na, da traut sich keiner drüber?
Nun, etwas muss man schon beachten, nämlich einen Diagonalschnitt durch den Quader machen, damit man die Berührung mit der Kugel sieht, also einen Kreis hat, dem ein Rechteck eingeschrieben ist. Denn nur die Ecken des Quaders liegen auf der Kugelperipherie.
Der Quader habe die Grundkante x (die Seite des Basisquadrates) und die Höhe y.
Der Kugelradius r ist gegeben.
Das dem Kreis eingeschriebene Rechteck hat demnach die Breite x*sqrt(2) (die Diagonale des Basisquadrates) und die Höhe y
Mittels Pythagoras erhalten wir die Nebenbedingung (NB):
2x² + y² = 4r²
Hauptbedingung ist, dass das Volumen maximal wird:
V = x²*y, von NB x² = 2r² - y²/2 einsetzen, -> Zielfunktion:
V(y) = 2r²y - y³/2
V'(y) = 2r² - 3y²/2
V''(y) = - 3y < 0 Maximum! (y > 0 nur sinnvoll)
V'(y) = 0
3y² = 4r²
y = 2r/sqrt(3)
==========
x aus NB: x² = 2r² - 2r²/3 = 4r²/3
x = 2r/sqrt(3)
==========
Es ist, wie zu erwarten, ein Würfel! Die Kontrolle der Rechnung erfolgt durch Berechnung dessen Raumdiagonale, die ist x* sqrt(3) = 2r, also gleich dem Durchmesser der Kugel, was folgerichtig ist.
Das Volumen des Quaders ist
V = [2r/sqrt(3)]³ = 8r³/(3*sqrt(3))
Gr
mYthos
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