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ciddy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 12:22: | 
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Hallo,
habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Läßt sich folgendes Integral geschlossen lösen,
wenn ja, bitte helft mir!
ò1 5(1+e2x)0,5dx
Vielen Dank!
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 136
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 17:14: |
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Hi,
das Integral dürfte, wenn ich mich nicht wo verrechnet habe, lösbar sein!
Ich habe es zuerst mit zweimaliger Substition gerechnet:
(1 + e^(2x))^(1/2) = z; dx = dz/[2*(z-1)], da kommt man dann zum
(1/2)*Integral von [z^(1/2)/(z-1)]dz,
mit weiterer Substitution u = z^(1/2) ist dz = du*2/u und wir erhalten
Integral von [u²/(u² -1)]*du = Integral von [1 - 1/(1 - u²)]du = u - artanh(u) = ...
.. = [1 + e^(2x)]^(1/2) - artanh[1 + e^(2x)]^(1/2)] + C
Zum selben Ergebnis komme ich, wenn ich gleich die Substitution
z = [1 + e^(2x)]^(1/2) verwende, denn dann ist
erst mal: 1 + e^(2x) = z² bzw. e^(2x) = z² - 1, und:
dz/dx = (1/2)*2*e^(2x)*[1 + e^(2x)]^(1/2) -->
dx = dz*{[1 + e^(2x)]^(1/2)}/e^(2x)
...
... Integral von {[1 + e^(2x)]^(1/2)} * {[1 + e^(2x)]^(1/2)}/e^(2x) nach dz =
Integral [1 - 1/(1 - z²)]dz = z - artanh(z), für z eingesetzt ist dies:
... = [1 + e^(2x)]^(1/2) - artanh[1 + e^(2x)]^(1/2)] + C
Die Ableitung dieses Ergebnisses (dieser Stammfunktion) ergibt (bei mir) auch wieder die ursprünglich gegebene Funktion ;-).
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 137
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 18:07: |
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Nachtrag:
Da im Integrationsintervall [1;5] z durchwegs größer als 1 ist, muss in diesem Fall (bei Argumenten größer als 1) statt der artanh - Funktion die arcoth - Funktion genommen werden!
Nur bei Argumenten, deren Betrag kleiner als 1 ist, wird artanh zu verwenden sein!
Gr
mYthos
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ciddy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 19:54: |
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Hallo mYthos,
danke für Deine Antwort. Ich hoffe es hat was geholfen, bei der gestrigen Klausur!
Viele Grüße,
ciddy |
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