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Charleen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 13:30: | 
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Hallo,
es wäre super wenn ihr mir helfen könntet, war ne woche nciht in der schule und hab erfahren, dass wir folgendes bis MOntag abzugeben haben:
1) Geben sie die Gleichung der Wendetangente un der Normalen im Wendepunkt an: f(x) = -1/2 x³-2x².
Ich hab erst die ABleitungen ausgerechnet und für die notwendige Bedngung x=-4/3 rausbekommen. Daraus folfte x(-4/3 / -2 10/27)
Aber irgendwie ... kommt mir komisch vor. Tja..., und nu? Was ist denn eine Wendetangente? Und die Normale?? häääää???
2) Der Graph einer ganz rationalen Funktion 4. Grades ist symetrisch zur y-Achse, verläuft durch A(0/2) und hat in B(1/0) einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie den Funktionsterm.
...achsooooo...
3) Bestimmmen Sie die ganz rationale Funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse im Punkt P(4/0) berührt und im Ursprung die Tangente mit der Gleichung y=4x hat.
.....hä?.....
4) Der Graph einer ganz rationalen Funktion 3. Grades hat in P(1/4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q(0/2) einen Wendepunkt.
......und das heißt....
Wie ihr seht.... ich bin verzweifelt!
mfG,
Charleen |
Klaus (kläusle)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 15:13: |
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Hi Charleen!
1)
Eine Wendetangente ist eine Tangente im Wendepunkt der zu untersuchenden Funktion. Die Normale ist in diesem Fall die Orthogonale zur Wendetangente.
Deine Ergebnisse für die Wendetangente sind richtig!
Aufstellen der Geradengleichung:
Dazu musst du aber noch die Steigung im Wendeptunkt ausrechnen:
f'(-4/3) = 8/3
(y+64/27) / (x+4/3) = 8/3
y = 8/3 * x + 8/3 * 4/3 - 64/27
y = 8/3 * x + 32/27
Berechnug der Normalen:
Da die Normale orthogonal zur Wendetangente ist, hat sie Steigung m = -1 / (8/3)
---> m = -3/8
Normalengleichung:
(y+64/27) / (x+4/3) = -3/8
y = -3/8 * x - 155/54
Das sind aber komische Ergebnisse...
Der Rest folgt!
MfG Klaus |
Klaus (kläusle)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 15:24: |
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Hi Charleen!
2)
Wenn die Funktion symmetrisch zur y-Achse sein soll, darf die Funktion nur gerade Hochzahlen und ein Absolutglied aufweisen.
f(x) = ax^4 + bx^2 + c
Aus den verschiedenen Bedingungen ergibt sich:
- f(0) = 2 -------> c = 2
- f(1) = 0 -------> a + b + 2 = 0
- f'(1) = 0 -------> 4a + 2b = 0
----> a = 2; b = -4
f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 2
MfG Klaus |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 142
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 15:40: |
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3) Bestimmmen Sie die ganz rationale Funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse im Punkt P(4/0) berührt und im Ursprung die Tangente mit der Gleichung y=4x hat.
.....hä?.....
Ansatz: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
1.& 2. Info: Graph berührt x-Achse bei 4
=> f(4)=0 => 64a+16b+4c+d=0
=> f'(4)=0 => 48a+8b+c=0
3. Info: Urpsrung (0/0) ist Punkt des Graphen
=> f(0)=0 => d=0
4. Info Steigung im Ursprung ist 4:
f'(0)=4 => c=4
Bleibt noch das LGS zu lösen:
64+16b+16=0
48a+8b+4=0
------------
-32a+8=0
a=1/4
=> b=-2
c=4
d=0
f(x)=1/4x^3-2x^2+4x
4) Der Graph einer ganz rationalen Funktion 3. Grades hat in P(1/4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q(0/2) einen Wendepunkt.
......und das heißt....
Ansatz: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
1. Info: P(1/4) => f(1)=4 => a+b+c+d=4
2. Info Steigung bei 1 ist Null => f'(1)=0 => 3a+2b+c=0
3. Info: Q(0/2) => f(0)=2 => d=2
4. Info Wendestelle bei 0 => f''(0)= 2b=0 => b=0
Bleibt noch zu lösen:
a+c+2=4
3a+c=0
------
-2a+2=4
a=-1
c=3
b=0
d=2
f(x)=-x^3+3x+2
Gruß
Peter |
Klaus (kläusle)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 16:03: |
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3)
Diesmal etwas ausführlicher...
Diese Funktion muss von folgender Form sein:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
Funktionsbedingungen:
1) Der Punkt P(4/0) ist ein Punkt des Graphen.
Es gilt: a*4^3 + b*4^2 + c*4 + d = 0
64a + 16b + 4c + d = 0 (1)
2) Die Steigung in diesem Punkt muss Null sein, da er die x-Achse berührt (diese hat logischerweise die Steigung 0)
3*a*4^2 + 2*b*4 + c = 0
48a + 8b + c = 0 (2)
3) Der Punkt P(0/0) ist ebenfalls ein Punkt des Graphen:
d = 0
4) Die Steigung in diesem Punkt beträgt 4, da die Gleichung der Tangente in diesem Punkt y = 4x haben soll:
c = 4
Aus (1) und (2) lässt sich nun der "Rest" der Funktion bestimmen:
64a + 16b + 4c + d = 0 (1)
48a + 8b + c = 0 (2)
mit d = 0 und c = 4 ergibt sich:
64a + 16b = -16
48a+ 8b = -4
-------------
a = 0,25
b = -2
Die Funktion hat demnach folgende Form:
f(x) = 0,25x^3 - 2x^2 + 4x
Aufgabe 4)
Ich geb dir mal die Bedingungen vor. Den Rest müsstest du selber lösen konnen
1) P(1/4): a + b + c + d = 4
2) f'(1) = 4: 3a + 2b + c = 0
3) Q(0/2): d = 2
4) f''(0) = 0: 2b = 0
Viel Spaß!!
MfG Klaus
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Charleen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 17:03: |
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Hi Klaus,
einfach genial:-)! Danke, danke, danke! Hab alles verstanden! :-) *freu* Allerdings hab ich noch 2 Fragen.Bei Augfabe 2 Hast du als Info f´(1)=0 angegeben., ich versteh nciht warum? Hängt as mit dem Tiefpunkt B(1/0) zusammen?
In der 4.Aufgabe versteh ich cniht warum die Steigung 1 bei Null ist. Und man das dann in f´ eisetzt. Hab mir überlegt, es könnte was mit der Tangente zusammen hängen, müsste dann aber die Stigung nciht bei 4 sein?
mfG,
Charleen
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Charleen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Oktober, 2002 - 17:08: |
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Hey...;-)
ich glaub ich sollte mal die Augen aufmachen:-) Alles klar, meine fRage zur Aufgabe4 hat sich erledigt. Allerdings vrsteh ich das bei der 1.Aufgabe immer noch nciht:-))
mfG,
Charleen |
Klaus (kläusle)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 16:14: |
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Hi Charleen!
Bitte, bitte!!!
Keine Ursache!!!
Bei Aufgabe 2 ist B(1/0) ein Tiefptunkt. Wie du schon richtig gesagt hast, ist dies der Grund, warum f'(1) = 0 sein muss. Denn nur wenn die 1.Ableitung für x = 1 Null ist, kann ein Extrempunkt vorliegen. Daher ist dies eine Bedingung der Funktion.
Gruß Klaus |
