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Alexander Wülfing (mrknowledge)
Neues Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 12:21: | 
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Hallo,
wer kann an einem einfachen Bsp. erklären wann eine Funktion injektiv,surjektiv und bijektiv ist?
Und warum heißt eine Fkt. auch Abbildung
Danke. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 532
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 14:43: |
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Hi Alexander
Zunächst einmal hast du bei einer Funktion einen Definitionsbereich D und einen Wertebereich W. Damit es sich tatsächlich um eine Funktion handelt, muss jeden Element aus D genau ein Element aus W zugeordnet werden. Man sagt auch, dass jedes Element aus D auf ein Element aus W abgebildet wird, daher der Name Abbildung.
Jetzt zu den anderen Begrifflichkeiten.
injektiv:
Wir nennen unsere Funktion jetzt einfach mal f.
Sind x und y aus D mit f(x)=f(y), so gilt x=y.
Dazu ein paar Beispiele:
f(x)=x^3 ist wie man leicht sieht injektiv auf ganz R.
f(x)=x^2 ist dies nicht, weil gilt f(x)=f(-x).
Z.B. folgt aus f(2)=f(-2) offensichtlich nicht 2=-2 ;)
Durch Einschränkung deines Definitionsbereichs von R auf R+ (positive reelle Zahlen) machst du die Funktion injektiv.
Jetzt zu surjektiv:
Zu jedem Element y des Wertebereichs W existiert mindestens ein Element x aus D mit
f(x)=y
Anschaulich gesprochen wird jedes Element deines Wertebereichs erreicht.
Beispiel:
f(x)=x^5 ist surjektiv auf R, weil du jede reelle Zahl erreichen kannst.
f(x)=x^4 ist nicht surjektiv auf R. Wählst du als Wertebereich allerdings R+, so ist die Funktion surjektiv. So kannst du übrigens immer vorgehen, wenn du eine surjektive Funktion haben willst.
Bijektiv:
Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.
Ein Beispiel dafür wäre f(x)=x^3 auf ganz R.
Bei f(x)=x^2 hättest du jetzt die Möglichkeit den Definitionsbereich und den Wertebereich auf R+ einzuschränken, dann wäre deine Funktion ebenfalls bijektiv.
Ich hoffe mal das hilft dir ein bißchen weiter.
MfG
C. Schmidt |
Alexander (mrknowledge)
Neues Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 19:25: |
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Hmm. hab ich das richtig verstanden? Einer injektiven Fkt. kann man einem x genau ein y zuordnen und diesem y genau ein x? Also z.B. f(x)=2x,f(2)=4 (Umkehrfkt. zu 4 ist wieder 2).
Wenn die Fkt. surjektiv ist, kann ich einem x mehrere x zuordnen oder einem x mehrere x (z.B. f(x)=x --> ein x, mehrere y)?
Was dann nun bijektiv ist hab ich immernochnicht verstanden. Wer kann es also bezugnehmend auf meine versuchten Erklärungen nocheinmal erläutern evtl. mit Bsp.?
MfG |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 553
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 21:03: |
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Hi Alexander
Hmm. hab ich das richtig verstanden? Einer injektiven Fkt. kann man einem x genau ein y zuordnen und diesem y genau ein x? Also z.B. f(x)=2x,f(2)=4 (Umkehrfkt. zu 4 ist wieder 2).
Stimmt, du ordenst jedem x ein y zu und jedes y ist verschieden. Dann ist die Funktion injektiv.
Wenn die Fkt. surjektiv ist, kann ich einem x mehrere x zuordnen oder einem x mehrere x (z.B. f(x)=x --> ein x, mehrere y)?
Nein, du darfst zunächst erstmal jedem x nur ein y zuordnen, sonst hättest du keine Funktion bzw. Abbildung mehr.
Bei der Surjektivität musst du erstmal einen Wertebereich festlegen, d.h. eine Menge, in die abgebildet wird. Das sind meist die reellen Zahlen. Wenn du jetzt bei deiner Funktion jede reelle Zahl als Funktionswert vorkommt, so ist die Funktion surjektiv auf R. Es können aber zu verschiedenen x-Werten gleiche y-Werte auftreten, sodass die Funktion nicht injektiv ist.
Z.B.
f(x)=x^3-x
Die Funktion ist surjektiv, aber nicht injektiv auf R
Was dann nun bijektiv ist hab ich immernochnicht verstanden. Wer kann es also bezugnehmend auf meine versuchten Erklärungen nocheinmal erläutern evtl. mit Bsp.?
Bijektiv ist eine Funktion ganz einfach, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Überprüfen wir das mal an dem Beispiel f(x)=e^x
Die Funktion ist injektiv, weil aus
e^x=e^y x=y folgt.
Die Funktion ist aber nicht surjektiv auf R, weil nur positive reelle Zahlen angenommen werden. Die Funktion wäre also nicht bijektiv auf R.
Schauen wir uns jetzt die Funktion f(x)=x^7 an.
Wie man sofort sieht ist sie injektiv.
x^7=y^7 => x=y
Surjektiv natürlich auch, denn jeder Wert aus den reellen Zahlen wird angenommen.
Also ist die Funktion bijektiv auf R
Wenn du noch was wissen willst frag einfach nochmal nach.
MfG
C. Schmidt |
Alexander (mrknowledge)
Neues Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 17:21: |
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Hallo,
"Schauen wir uns jetzt die Funktion f(x)=x^7 an.
Wie man sofort sieht ist sie injektiv.
x^7=y^7 => x=y
Surjektiv natürlich auch, denn jeder Wert aus den reellen Zahlen wird angenommen.
Das mit dem surjektiv und dem bijektiv habe ich immer noch nicht so kapiert. Wäre nett, wenn du es nochmal "idiotensicher" erklärst. Gaanz ausführlich :-)
MfG
Also ist die Funktion bijektiv auf R"
x^7=y^7?
f(2)=2^7=128 (128 wäre y) das ist doch aber nicht =128^7 (x^7=y^7? denn 2^7 ist nicht 128^7).
Wenn die Fkt. injektiv ist, müsste die siebente Wurzel aus 128 =2 ergeben. Sie ist umkehrbar, also injektiv, richtig? Es gilt also, dass jede invertierbare Fkt. umkehrbar ist, oder?
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 560
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 18:04: |
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Hi Alexander
f(2)=2^7=128 (128 wäre y) das ist doch aber nicht =128^7 (x^7=y^7? denn 2^7 ist nicht 128^7).
Ich hätte statt dem x und y vielleicht besser x1 und x2 nehmen sollen. y hat hier nichts mit dem Funktionswert zu tun. y sollte einfach nur eine weiter Zahl sein, die du für x einsetzt.
Nehmen wir nochmal die Funktion f(x)=x^7
Wie du schon sagtest nehmen wir einfach mal x=2.
Dann hast du f(2)=2^7=128.
Injektiv ist die Funktion jetzt genau dann, wenn du keinen anderen Wert als 2 findest, für den die Funktion den Wert 128 annimmt. Und das ist hier der Fall.
Anders bei f(x)=x^2.
Nehmen wir hier auch mal x=2. Dann ist f(2)=4. Den gleichen Wert nimmt die Funktion aber auch an der Stelle -2 an. Denn (-2)^2=2^2=4. Also ist diese Funktion nicht injektiv.
Wenn die Fkt. injektiv ist, müsste die siebente Wurzel aus 128 =2 ergeben. Sie ist umkehrbar, also injektiv, richtig? Es gilt also, dass jede invertierbare Fkt. umkehrbar ist, oder?
Also der erste Teil ist schonmal richtig. Damit die Funktion umkehrbar ist, musst die 7. Wurzel auch 128 nur den einen Wert 2 ergeben.
Sie ist auch umkehrbar, aber was du jetzt mit deinem letzten Satz meinst versteh ich nicht. Umkehrbar ist doch nur ein anderes Wort für invertierbar.
Nochmal zu surektiv. Ich schreib dir jetzt nochmal eine genaue Definition auf zu den ganzen Sachen:
Es seien S,T Mengen. Eine Vorschrift f, die jedem Element s aus S genau ein Element f(s) aus T zuordnet, heißt Abbildung oder Funktion von S nach T. (Mit den Mengen das braucht dich gar nicht weiter zu kümmern erstmal, denk dir einfach S und T wären R)
f(s) ist das Bild von s unter f und S heißt Definitionsbereich von f. Wir nennen Im(f):={f(s)|s aus S} das Bild von f.
Wir nennen die Abbildung f
injektiv, falls f(x) ungleich f(y) für x ungleich y
surjektiv, falls Im(f)=T und
bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
Ich hoffe mal das hat dir eher geholfen als dich zu verwirren 
Ich versuch dir jetzt nochmal surjektiv ganz anschaulich zu erklären. Du legst am Anfang einen bestimmten Bereich fest, in den deine Funktionswerte fallen sollen. Nehmen wir einfach mal R. Jetzt gibt es ja verschiedene Möglichkeiten. Es gibt Funktionen, die nur positive Werte annehmen, oder nur negative. Oder wie die sinus-Funktion nur die Werte zwischen 1 und -1 einschließlich. Es gibt aber auch Funktionen, die alle Werte annehmen. Alle positiven und negativen reellen Zahlen. Und genau diese nennt man dann surjektiv auf R. Und das ist ja bei f(x)=x^7 offensichtlich gegeben.
Und wenn du injektiv und surjektiv begriffen hast, ist bijektiv ja kein Problem mehr. Ist eine Funktion injetiv und surjektiv zugleich, dann ist sie bijektiv. Du kannst also bei jeder Funktion so vorgehen, dass du zuerst schaust, ob sie injektiv ist. Danach schaust du, ob sie surjektiv ist. Ob sie dann auch bijektiv ist, ergibt sich ja daraus.
MfG
C. Schmidt
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