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Beitrag |
    
Katharina Fuhrmann (katara)
Junior Mitglied
Benutzername: katara
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 18:28: | 
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Hi! Kann mir vielleicht jemand bei folgender Aufgabe helfen, wenns geht mir kleiner Erklärung?!
Eine Holzkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Zylinder mit möglichst großem Rauminhalt entsteht.
(Voll doof finde ich, da keine Maße gegeben sind.) |
Katharina Fuhrmann (katara)
Junior Mitglied
Benutzername: katara
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 18:32: |
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Hab noch was vergessen... Wie sind der Radius und die Höhe des Zylinders zu wählen? |
Tec (technic)
Mitglied
Benutzername: technic
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 21:58: |
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Hi Katharina
Ich habe da eine Idee:
Das Ganze kann doch auch für eine Halbkugel betrachtet werden:
Das blaue Rechteck stellt die Hälfte des Zylinderquerschnittes dar.
Die Fläche der halben Halbkugel minus Fläche des Rechtecks müsste somit minimal werden, damit das Rechteck und somit der Zylinder am grössten wird.
z.B.: Funktion Halbkugel = f(x) = Wurzel(r^2 - (x -r)^2)
Fläche Rechteck = (r - x) * f(x)
Nun gilt:
Damit das Minimum der Fläche A berechnet werden kann, muss der Ausdruck
A abgeleitet und gleich null gesetzt werden. Das Resultat sollte dann eigentlich zwei Basispunkte (xb) und somit der Radius ergeben. Daraus lässt sich auch die Höhe berechnen.
Ich hoffe das geht so
gruss Tec |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 01:49: |
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@Tec,
so geht das sicher nicht! Von welcher Fläche (??) der Halbkugel ist die Rede? Es soll das Zylindervolumen ein Extremum werden! Das bedingt NICHT notwendigerweise, dass die rotierenden Querschnittsflächen extrem sein müssen!
Nachdem der größtmögliche Zylinder aus der Kugel herausgeschnitten werden soll (max. zylindr. Bohrung!) wird dieser so angeordnet, dass seine Achse auf dem Kugeldurchmesser zu liegen kommt, der gemeinsame Achsenschnitt ist ein Kreis mit eingeschriebenem Reckteck.
Der Radius des Zyl. sei x, seine Höhe 2y
Hauptbedingung (HB): V = x²*2pi*y
Nebenbedingung: x² + y² = r²;
wie man aus dem dem ganzen Kreis eingeschriebenen Rechteck (Länge 2x, Höhe 2y) unschwer erkennen kann.
x² = r² - y ² in HB einsetzen, 2*pi als konst. Faktor weglassen -->
Zielfunktion
V(y) = r²y - y³
V'(y) = r² -3y²
V''(y) = -6y < 0 (f. y > 0) -> Maximum!
V' = 0 -> y² = r²/3 -> y = r/sqrt(3)
x² = r² - r²/3 = 2r²/3
x(Radius) = r*sqrt(2/3)
Der Radius ist das Wurzel(2)-fache der Höhe.
Das maximale Volumen ist nun
V = 2*pi*(2r²/3)*r/sqrt(3) = 4r³*pi/(3*sqrt(3)), es ist gleich dem Kugelvolumen dividiert durch Wurzel(3).
Wir sehen ausserdem, dass die maximale Querschnittsfläche (ein Quadrat) bei Rotation NICHT das maximale Zylindervolumen erzeugt (ca. 0,71*r³*pi gegenüber ca. 0,77*r³*pi)
Gr
mYthos
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Tec (technic)
Mitglied
Benutzername: technic
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 12:22: |
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Hallo mythos
Ich hab's nochmals nachgerechnet und kann Dir nur Recht geben. Die Querschnittsfläche darf nicht mit dem Volumen vermischt werden.
Mit der Fläche A meinte ich übrigens den gelben Bereich:
Danke für die Korrektur
gruss Tec |
Katharina Fuhrmann (katara)
Junior Mitglied
Benutzername: katara
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 14:32: |
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Jepp alles klar, vielen Dank! |
