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Antonia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Oktober, 2002 - 17:07: | 
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Hallo!
Ich habe da als Hausaufgabe eine Textaufgabe: Beweise, dass die Subtangente (Projeltion des Tangentenstücks zwischen dem Berührpunkt und der x-Achse auf die x-Achse) für jede Exponentialfunktion a^x (a aus R+) konstant ist. Wie groß ist sie? Was ergibt sich für a=e? Verwende das Ergebnis zur Konstruktion der Tangente in einem beliebugen Punkt der Bildkurve zu e^x!
Also, soviel weiß ich schon: diese Projektion ist ein gewisser Abschnitt, der auf der x-Achse liegt. Aber wie bekomme ich dessen Länge raus???
Schonmal danke
Antonia |
mythos2002 (mythos2002)
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Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Oktober, 2002 - 19:17: |
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Hi,
zunächst brauchst Du die Tangentengleichung in einem beliebigen Punkt der Kurve, Xo(xo|yo). Wie erhält man die Steigung der Tangente? Denke an die Ableitung ... . Hast Du die Tangentengleichung, bringst Du die Tangente mit der x-Achse zum Schnitt (y = 0!). Die Differenz des x-Wertes des Schnittpunktes S und dem x-Wert des Tangentenpunktes (xo) ist die Subtangente.
Versuche mal diese Hinweise selbst weiterzuverarbeiten, die Lösung sende ich Dir etwas später ......
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 115
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Oktober, 2002 - 21:10: |
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Je nachdem, ob die Funktion im Bereich von xo steigend oder fallend ist, wird der Schnittpunkt mit der x-Achse einmal links und einmal rechts von xo zu liegen kommen. Die Subtangente ist dann entweder xo - x oder x - xo bzw. gleich dem Betrag dieser Differenz.
Nun, für die Funktion f(x) = a^x (a > 0) sieht dies so aus:
f '(x) = [ln(a)]*a^x
k (Anstieg der Tangente) an der Stelle xo
k = f '(xo) = [ln(a)]*a^(xo)
Die Tangente hat den Richtungsvektor (1;k), ihre Gleichung ist
X = {x;y} = {xo;yo} + t*{1;k}
{x;y} = {xo;a^(xo)} + t*{1;[ln(a)]*a^(xo)}
Für den Schnittpunkt mit der x-Achse: y = 0 setzen, -> in der y-Zeile:
0 = a^(xo) + t*[ln(a)]*a^(xo)
t = -1/ln(a)
------------
In der x-Zeile ist nun:
x = xo + t;
die Subtangente ist nun xo - x, also -t! Die Funktion e^x ist nämlich überall steigend.
Hier lautet die Subtangente: t' = 1/ln(a)
Man sieht, dass diese konstant ist (unabhängig von der Stelle x) und für a = e ist sie 1 (ln(e) = 1!)
Zur Konstruktion:
Wo auch immer an die Bildkurve die Tangente zu legen ist, genügt es, den Berührungspunkt auf die x-Achse herunter zu loten und von dort um 1 Einheit nach links zu gehen und den so erhaltenen Punkt mit dem Berührungspunkt zu verbinden!
Gr
mYthos
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