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Beitrag |
    
sven
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Oktober, 2002 - 19:29: | 
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Bezogen auf ein KOS mit einem Flugahafen im Ursprung verlaufen die banhen zweier Flug´zeuge auf den ´Geraden G: x= (0/5/1)+t*(1/2/1) und h: x=(4/9/3) + t(1/1/0) 1 Einheit 1 Kilometer
Berechnen sie wei nah sich die Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen könnten?
wer kann mir weiterhelfen? danke! |
Benni
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Oktober, 2002 - 19:48: |
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Hallo!
Zwei Möglichkeiten:
1) Die Geraden schneiden sich -> Kollisionspunkt
berechnen! --> minimaler Abstand = 0
2) Die geraden schneiden sich nicht, dann müssen sie windschief sein (da sie nicht parallel sind)
--> Problem: Abstand zweier windschiefer Geraden
Lösung:
Man bastelt sich eine Ebene, in der die eine Gerade liegt, und zwar so: Aufpunkt der neuen Ebene ist der Aufpunkt der einen Geraden (X), Spannvektoren sind die Richtungsvektoren BEIDER Geraden (Y,Z) --> Ebene in Parameterdarstellung:
E = X + c*Y + d*Z
Dann die Ebene in Koordinatendarstellung umwandeln => in Hesse-Normalform umwandeln.
Jetzt ist es nur noch ein kleines Problem: Abstand Punkt-Ebene (Aufpunkt der ANDEREN Geraden)
ist der gesuchte minimale Abstand!
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sven
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Oktober, 2002 - 09:46: |
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danke schon mal,das Problem ist nur noch,dass ja nicht gesagt ist, dass beide Flugzeuge auch zum gleichen Zeitpunkt an der Engstelle sind.wie könnte man die zeitparameter t da noch mitbeachten? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 496
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Oktober, 2002 - 13:09: |
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a² = Dx² + Dy² + Dz²
a = a(t) =Abstand,
Dx = Dx(t) = 0-4 + t*(1-1) = -4 konstant
Dy = Dy(t) = 5-9 + t*(2-1) = -4 + 1*t
Dz = Dz(t) = 1-3 + t*(1-0) = -2 + 1*t
a(t) = Wurzel( 16 + (16-8t+t²) + (4 - 4t + t²) )
a(t) = Wurzel(2t² - 12t + 36); a'(t) ist a(t) abgeleitet nach t
a'(t) = ( 1 / a(t) ) * (2t - 6)
[ man könnte auf ( 1 / a(t) ) auch von vorneherein verzichten - wo ein f(x) extrem ist ist es auch f²(x)
]
Extremum für 2t = 6, t = 3
a(3) = Wurzel(2*9 - 36 + 36) = 3*Wurzel(2)
( ist eigentlich ein "4dimensionales" Problem - und so einfach zu lösen
)
(Beitrag nachträglich am 02., Oktober. 2002 von friedrichlaher editiert) |
Muriel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 09:09: |
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@Friedrich:
einfach aber leider falsch! |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 506
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 15:59: |
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@Muriel: WAS DAVON? |
Azrael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 17:05: |
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Hallo Muriel,
warum ist das denn falsch?
Wie groß ist denn dann der kleinste Abstand?
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Muriel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 18:28: |
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Hallo Azrael,
g: x=(0;5;1)+t(1;2;1)
h: x=(4;9;3)+t(1;1;0)
Wir legen zwei zueinander parallele Ebenen durch g und durch h:
Normalenvektor dieser Ebenen ist: (1;2;1) x (1;1;0) = (-1;1;-1)
Eg: -1(x-0)+1(y-5)-1(z-1)=0
-x+y-z=4
Eh: -1(x-4)+1(y-9)-1(z-3)=0
-x+y-z=2
Auf Hessesche Normalform gebracht: dann steht rechts der Abstand vom Ursprung.
Gesuchter kürzester Abstand ist die Differenz:
(4-2)/sqrt(3) = (2/3)*sqrt(3) km
Warum die Rechnung von Friedrich falsch ist, weiß ich nicht. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 507
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 19:12: |
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und wo BLEIBT die Abhängigkeit von der Zeit? |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 215
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 19:23: |
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Hi Friedrich,
tja kann es sein, daß es zusätzlich zu t auch von v abhängt dann sind es mind. 6 Dimensionen?
3 normale und 3 für den Geschwindigkeitsvektor, oder?
Dann is es aber nit mehr trivial.
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 508
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 20:16: |
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die Geschwindigkeit steckt schon in den mit dem Skalar t multiplizierten Vektoren |
Azrael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 20:38: |
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Richtig, Friedrich. Die Bemerkung zur Geschwindigkeitsabhängigkeit könnte eventuell eine *ggg*-Verwirrung sein.
Hallo Muriel,
sven fragte noch:
das Problem ist nur noch, dass ja nicht gesagt ist, dass beide Flugzeuge auch zum gleichen Zeitpunkt an der Engstelle sind. Wie könnte man die zeitparameter t da noch mitbeachten?
Eine Überprüfung von Friedrichs Ergebnis in einer Probe mit Näherungswerten ergibt:
| | | t | | Flug | zeug | auf g | | Flug | zeug | auf h | Abstand | | | | | | | | | | sqrt((xg-xh)² | | | xg | yg | zg | | xh | yh | zh | +(yg-yh)² | | | | | | | | | | | | +(zg-zh)²) | | | | | 2,97 | | 2,97 | 10,94 | 3,97 | | 6,97 | 11,97 | 3 | 4,24285 | | 2,98 | | 2,98 | 10,96 | 3,98 | | 6,98 | 11,98 | 3 | 4,24273 | | 2,99 | | 2,99 | 10,98 | 3,99 | | 6,99 | 11,99 | 3 | 4,24266 | | 3 | | 3 | 11 | 4 | | 7 | 12 | 3 | 4,24264 | | 3,01 | | 3,01 | 11,02 | 4,01 | | 7,01 | 12,01 | 3 | 4,24266 | | 3,02 | | 3,02 | 11,04 | 4,02 | | 7,02 | 12,02 | 3 | 4,24273 | | 3,03 | | 3,03 | 11,06 | 4,03 | | 7,03 | 12,03 | 3 | 4,24285 |
Das heißt, nachdem 3 Zeiteinheiten vergangen sind, sind sich die Flugzeuge bis auf 4 242,64 Meter nahegekommen.
Die Fluggeschwindigkeiten ergeben sich aus der Abhängigkeit der Flugzeugkoordinaten von t:
Das Flugzeug auf der Gerade g legt in einer Zeiteinheit Ö6 km zurück, während das andere Ö2 km zurücklegt, das heißt, das Flugzeug auf der Gerade g ist Ö3-mal so schnell wie das Flugzeug auf der Gerade h.
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Muriel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 21:25: |
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Das ist doch völliger Unsinn!
Gefragt ist: Berechnen sie wie nah sich die Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen könnten?
Von den Flugzeugen ist weder ein Startpunkt noch eine Geschwindigkeit gegeben!
t ist ein Parameter. Selbst wenn man ihn als Zeit interpretiert, so kann man nicht sagen in welchen Zeiteinheiten gemessen wird. (Bedeutet t=1 eine Zeit von 1 Sekunde, einem Tag, einem Jahr oder vielleicht 4,786 Minuten?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 509
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 22:05: |
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aber die t sind für beide Geraden die gleichen, egal ob man sie als Zeit interpretiert oder nicht, nicht unabhängig voneinander - was sie sein müßten wenn sich der Kreuzungs"punkt" der Geraden ergeben sollte. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 510
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Oktober, 2002 - 22:50: |
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@Azarel: Danke für die Demonstration! |
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