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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 109
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Oktober, 2002 - 09:32: | 
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Hallo Friedrich,
in der Schule werden diese Formeln, die für R2 gelten, auch auf R3 ausgedehnt.
In R3 gilt der Sachverhalt ganz analog, da die beiden Vektoren V, W dort natürlich ebenso eine Ebene bilden, bzw. ein Parallelogramm (Dreieck) aufspannen und einen Winkel phi miteinander bilden! Das skalare Produkt ist geometrisch eben wieder über die Projektion des einen Vektors auf den anderen definiert:
V.W = |V|*|W|*cos(phi)
und das wär's eigentlich schon!
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Mit dem Cos-Satz sieht das dann so aus:
Im Dreieck |V|, |W|, |V-W| gilt der Cosinussatz (Dazu brauchst Du NICHT die komponentenweise Darstellung!*):
|V-W|² = |V|² + |W|² - 2*|V|*|W|*cos(phi)
*) Für jeden Vektor X ist X.X = |X|² und für U, V, W und skalare Multiplikation gilt (u.a. auch) das Distributivgesetz! (U + V).W = U.W + V.W
|V|² - 2*(V.W) + |W|² = |V|² + |W|² - 2*|V|*|W|*cos(phi)
V.W = |V|*|W|*cos(phi)
Bei Betrachtung in Räumen höherer Ordnung als 3 (Rn) kommt es nur noch auf Definitionen an, da die (geometrische) Anschaulichkeit verloren geht. Was bedeutet denn ein Winkel in Rn?
Mittels Matritzen (Zeilen-, Spaltenvektoren) wird's dann einfach: Das skalare Produkt ist ohne geometrische Deutung als gliedweise Summe der Komponentenprodukte definiert.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 01., Oktober. 2002 von mythos2002 editiert) |
