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Beitrag |
    
Tina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 18:12: | 
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Berechnen sie die Maßzahl der Fläche zwischen den Funktionsgraphen!
f(x)=5 - x^2
g(x)=4/x^2
und
Welche Bedingung muss a erfüllen, damit der Graph der Funktion f mit den positiven Achsen des Koordinatensystems eine Fläche F einschließt? Für welche Zahl a hat diese Fläche die Maßzahl A(F)?
f(x)=ax^2 + 2
A(F)=16/3
Könnt ihr mir vielleicht helfen. Wäre nett!
Danke!!! |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 20:33: |
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Hallo,
die beiden Funktionen gleichsetzen, dann erhältst Du zunächst die Schnittpunkte deren Graphen:
5 - x² = 4/x² |*x²
x^4 - 5x² + 4 = 0, nach x² auflösen
x²1 = 4; x²2 = 1
x1,2 = +/- 2; x3,4 = +/- 1
da beide Funktionen symmetrisch zur y-Achse sind, haben wir zunächst nur rechts die Fläche zu berechnen.
Das von den beiden Kurven eingeschlossene Flächenstück ist gleich dem Betrag des Integrals der Differenz [f(x) - g(x)] in den gemeinsamen
Grenzen von 1 bis 2. Durch den Betrag ist sichergestellt, dass es bei der Differenzbildung auf die Reihenfolge nicht ankommt, also auch die
Differenz [g(x) - f(x)] das gleiche Resultat liefert.
Rechnet man exakt (ohne Betrag), dann muss jene Funktion zuerst genommen werden, die innerhalb der Schnittpunkte (Integrationsgrenzen) weiter weg von der x-Achse liegt.
A = Int[1;2][5 - x² - 4*x^(-2)]dx
A = [5x - x³/3 + 4/x][1;2]
A = 10 - 8/3 + 2 - 5 + 1/3 - 4
A = 2/3 E² (Flächeneinheiten)
==========
Für die gesamte Fläche kannst Du das Ganze mal 2 nehmen.
Für die 2. Frage musst Du die (positive) Nullstelle von f(x) (den Schnittpunkt mit der x-Achse) ermitteln, die untere Grenze ist 0 ( bei der y-Achse):
ax² + 2 = 0
ax² = -2
x² = -2/a
damit eine reelle Lösung für x eintritt und es somit eine Fläche A gibt, muss a < 0 sein!
x = sqrt(-2/a)
A = Int[0;sqrt(-2/a)][ax² + 2]dx
A = [a*x³/3 + 2x][0;sqrt(-2/a)]
A = (-2/3)*sqrt(-2/a) + 2*sqrt(-2/a)
16/3 = (4/3)*sqrt(-2/a)
4 = sqrt(-2/a) |²
16 = -2/a
a = -1/8
=========
Antwort:
Die Funktion f(x) = -x²/8 + 2 schließt mit den Achsen (zw. x1=0 und x2=4) eine Fläche von 16/3 E² ein.
Gr
mYthos
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tina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Oktober, 2002 - 00:00: |
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ich bedanke mich sehr mythos. falls du irgendwelche fragen hast. (muss nicht mathe sein) kannst du mich jederzeit fragen, ich helfe dir gerne wo ich kann! |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Oktober, 2002 - 14:53: |
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Hi tina,
Du bist eine der (leider) sehr wenigen, bei denen es mir wirklich Freude macht, eine Frage zu beantworten.
Ich rede ja nicht einmal mehr von Dank, schon irgendeine Reaktion ist ja schon was!
Ich freue mich auch über Dein Angebot!
lG
mYthos
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