| Autor |
Beitrag |
    
Anja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 15:41: | 
|
Hallo,
wer kann mir beim Lösen dieser Aufgaben helfen? Ich kapier das alles nicht! Hilfe !!!
1. Bestimme die Werte von a, b, und c so, dass gilt:
1. E1 = E2 2. E1 parallel zu E2 3. E1 und E2 schneiden sich
E1: x = (a/ 3/ 1) + r (1/ 0/ 1) + s (1/ 2 / 0 )
E2: x = (2/ 1/ 5) + u (b/ 1/ 1) +v (c/ 2/ 1)
2. Et: 3tx + ( t – 3) y + tz = 12t+1 (t€R)
Alle Ebenen dieser Schar Et schneiden sich in einer Geraden S.
Geben Sie eine Gleichung für die Gerade S an!
Danke im Voraus
Gruß Anja
|
megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Oktober, 2002 - 18:04: |
|
Hi,
Zu 1.
Wir machen beide Gleichungen parameterfrei, d.h. wir bringen sie auf die Normalvektorform.
Dazu ermitteln wir jeweils den Normalvektor aus den beiden gegebenen Richtungsvektoren mittels der Vektormultiplikation (Vektorprodukt):
E1: {1;0;1} x {1;2;0} = {-2;1;2}
E2: {b;1;1} x {c;2;1} = {-1;(c-b);(2b-c)}
Wir stellen nun beide Ebenengleichungen auf (die Komponenten des Normalvektors sind gleich den x-, y- und z-Koeffizienten dieser Gleichung):
E1: -2x + y + 2z = {-2;1;2}.{a;3;1} .. der Punkt (a;3;1) ist Element dieser Ebene;
E1: -2x + y + 2z = 5 - 2a
Analog:
E2: -x + (c-b)y + (2b-c)z = 9b – 4c – 2
Wir benützen die Tatsache, dass bei parallelen Ebenen das Verhältnis der x-, y- und z-Koeffizienten gleich sein muss, wobei dies für das absolute Glied NICHT zutreffen darf.
Daher gilt:
(-2)/(-1) = 1/(c-b) = 2/(2b-c)
2(c-b) =1
2b-c = 2(c-b)
-----------------------
-2b + 2c = 1 |*2
4b – 3c = 0 |+
-----------------------
c = 2; b = 3/2
=============
E2 (parallel zu E1): -x + y/2 + z = 7/2 bzw.
-2x + y + 2z = 7
===============
Wenn die beiden Ebenen identisch sind, gilt der gleiche Proportionalitätsfaktor auch noch für das absolute Glied (rechts vom = - Zeichen):
(-2)/(-1) = (5-2a)/(9b - 4c - 2) |*(9b - 4c - 2)
18b - 8c - 4 = 5 – 2a; für a, b die Werte von oben eingesetzt:
27 – 16 = 9 – 2a
2a = -2
a = -1
======
E1: -2x + y + 2z = 5 - 2a)
-2x + y +2z = 7
==============
Da parallele Ebenen keine Schnittgerade besitzen, schneiden E1 und E2 einander nur dann, wenn gilt: c <> 2 oder b <> 3/2!
Fortsetzung folgt!
Mit freundlichen Grüßen
elsa, megamath, mYthos (Teamarbeit aus Wien!) |
megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Oktober, 2002 - 11:41: |
|
Hi Anja,
Es folgt die Lösung des zweiten Teils Deiner Aufgabe.
Wir wählen für t zwei Werte aus:
t = t1 = 1 und . t = t2 = 3
Setzen wir diese Werte für t in die Gleichung für Et ein,
so erhalten wir zunächst die Ebene
E1: 3 x - 2 y + z = 13 mit n1 = {3;-2;1}
als Normalenvektor, sodann die Ebene
E3 : 9 x + 3 z = 37 mit n2 = {9;0;3}
als Normalenvektor.
Die Schnittgerade der Ebenen E1 und E3 wird sich als
die gesuchte Gerade s herausstellen, indem sie als Achse des
gegebenen Ebenenbüschels auftritt.
Ein Richtungsvektor r von s ergibt sich als Vektorprodukt
r = n1 x n2 ; das Ergebnis lautet:
r = {-6;0,18} = -6 {1;0;-3}.
Einen Punkt A auf s finden wir dadurch, dass wir in die
Gleichungen für E1 und E3 z.B. den x-Wert 0 einsetzen und
das zugehörige Gleichungssystem nach y und z auflösen.
Wir erhalten die Werte y = - 1/3 und z = 37/3, somit gilt:
A(0 / -1/3 / 37/3).
Eine Parameterdarstellung der Geraden s mit u als
Parameter lautet also:
x = u ; y = - 1/3 ; z = 37/3 – 3 u .
Die Hauptaufgabe besteht nun darin, nachzuweisen, dass auch alle
andern Ebenen der gegebenen Ebenenschar durch s gehen, dass also
s auf allen Ebenen der Schar liegt.
Dieser Nachweis kann dadurch geführt werden, dass man die Koordinaten
x,y,z aus der Geradengleichung zunächst in die linke Seite der
Ebenengleichung Et einsetzt und das Ergebnis zur Abkürzung mit L
bezeichnet.
Es kommt der Reihe nach:
L = 3 t u + ( t – 3 ) ( - 1/3 ) + t ( 37/3 – 3 u ) oder:
L = 3 t u – 1/3 t + 1 + 37/3 t – 3 t u .
Der Parameter u hebt sich weg.
Es bleibt das Ergebnis L = 12 t + 1 .
Dieser Term für L stimmt mit der rechten Seite der Ebenengleichung
für alle t-Werte überein, womit nachgewiesen ist, dass die Gerade s in
Et liegt
Ein Nachtrag.
Es gibt zwei besonders geeignete Werte des Parameters t zur Ermittlung
zweier Grundebenen der Schar Et, deren Schnittgerade wieder mit s übereinstimmt
Wir wählen to = 0 und erhalten die Ebene Eo mit der Gleichung
y = -1/3;
ferner wählen wir t* so, dass 1 / t* = 0 gilt; die entsprechende Ebene sei mit E*
bezeichnet, die Gleichung von E* erhalten wir so:
man dividiert die Gleichung für Et beiderseits mit t; Ergebnis:
3 x + (1 – 3 / t ) y + z = 12 + 1 / t .
Wenn jetzt t gegen unendlich strebt, wird aus der letzten Gleichung die gesuchte Ebenengleichung, nämlich:
3x + y + z = 12
Die Gleichung der Schnittgeraden s von Eo und E* ergibt sich nun unmittelbar.
Mit freundlichen Grüßen
elsa, megamath, mYthos (Teamarbeit aus Wien!)
|
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 124
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 12:45: |
|
Hallo nochmals,
wir haben in unserem Team nochmals den 2. Teil dahingehend diskutiert, ob es nicht einen einfacheren und allgemeinen Weg zur Lösung gibt!
Wir denken, dass nachstehender Weg recht brauchbar ist!
Wir schreiben zwei Ebenen dieser Schar an (allg. mit Parameter t1, t2 und t1 <> t2!)
E1: 3t1*x + (t1 - 3)*y + t1*z = 12t1 + 1
E2: 3t2*x + (t2 - 3)*y + t2*z = 12t2 + 1
-----------------------------------------
diese beiden sind zu schneiden (also nach x, y, z aufzulösen); sie schneiden einander in einer Geraden, weil die Lösungsmenge infolge des Fehlens einer 3. Gleichung einparametrig sein muss, d.h. wir können eine der drei Variablen mittels eines Parameters (u) ansetzen:
O.B.d.A. sei x = u; dies in obiges System einsetzen und nach y, z auflösen.
Zur Auflösung subtrahieren wir zuvor beide o.a. Gleichungen:
3(t1 - t2)*x + (t1 - t2)*y + (t1 - t2)*z = 12*(t1 - t2) | : (t1 - t2) <> 0!
--> 3x + y + z = 12 !
und wir erhalten folgendes System:
Gl. 1.: x = u
Gl. 2.: 3x + y + z = 12
Gl. 3.: 3t1*x + (t1 - 3)*y + t1*z = 12t1 + 1
----------------------------------------------
Gl.2.: -> y = 12 - 3u - z
alles in Gl. 3.:
3t1*u + (t1 - 3)*(12 - 3u -z) + t1*z = 12t1 + 1
3t1*u + 12t1 - 36 - 3t1*u + 9u - t1*z + 3z + t1*z = 12t1 + 1
[3t1*u, 12t1 und t1*z heben sich auf]
3z = -9u + 37
z = 37/3 - 3u
=============
y = -1/3 .. (aus Gl. 2)
=========
x = u (v. Gl. 1)
======
Somit lautet die Lösung (d.i. die Schnittgerade): X = [0; 37/3; -1/3] + u*[1; 0; -3]
---------------------------------------------=============================
Gr
Das Team: elsa/megamath/mYthos |
Mimi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Oktober, 2002 - 22:21: |
|
Hallo mythos !
es ist etwas schreckliches passiert.
Bin in der Stufe 11 das weißt du ja.
geh zu Lineare Funktionen und guck dir das mal selbst an.Alle Felder sind leer.
Oder geh zum Themengebiet Geometrie da hab ich es ausführlicher für dich geschildert.
Mimi |
Tun
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 09:04: |
|
Hallo mimi,
bitte hänge deinen Beitrag nicht an bestehende an sondern öffne einen neuen Beitrag! |
|
