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Beitrag |
    
callma (callmebush)
Neues Mitglied
Benutzername: callmebush
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. September, 2002 - 20:18: | 
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Wer kann mir die Potenzregeln beweisen? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 479
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. September, 2002 - 21:50: |
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Induktiv mit der Produktregel
(x°)' = 0 = 0*x0-1
(x¹)' = 1 = 1*x1-1
Potenzregel stimmt also für n=0,1
Annahne (xn)' = n*xn-1
dann
ist nach der Produktregel
(xn+1)' = (x*xn)' = x'*xn + x*
Einsetzten der Annahme für (xn)'
(xn+1)' = 1*xn + x*n*xn-1 = xn + n*xn
(xn+1)' = (n+1)*xn = [n+1]*x[(n+1)-1]
Wenn die Annahme also für n gilt, dann auch für n+1
also für 0,1, 1->2->3..... |
Olaf (heavyweight)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. September, 2002 - 21:51: |
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Hi!
Man kann die Potenzregel mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes beweisen.
Wenn Du daran interessiert bist,kannst Du Dich ja nochmal melden.
Eine besonders elegante Möglichkeit bietet hier die logarithmische Differentation:
y=x^n
ln(y)=ln(x^n)
ln(y)=n*ln(x)
dy/dx(ln(y))=y´/y
y´/y=n/x
y´=n/x*y
y´=n/x*x^n
y´=n*x^(n-1)
Gruß,Olaf |
