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Optilmale Kapsel ... ???

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Körper » Optilmale Kapsel ... ??? « Zurück Vor »

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Phillip (duk3)
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Neues Mitglied
Benutzername: duk3

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 16:06:   Beitrag drucken

Hallo ... haben im Mathe-Kurs eine für uns nicht lösbare Aufgabe bekommen. Uns fehlt der komplatte Ansatz. Hilfe wäre echt nett .. keine Lösung (es sei denn Euch ist langweilig) aber ein Denkanstoß bzw. Lösungsweg wäre echt nett .


Aufg:
Eine (gerade Kreis-) zylinderförmige Medikamentenkapsel (Zylinderradius r) mit halbkugelförigen Enden des gleichen Radius r soll eine Gesamtoberfläche A von 250mm² besitzen.
=> Ermitteln Sie diejenigen Kapselabmessungen r und h für die der zylindrische Mittelteil der Kapsel maximales Volumen besitzt, auf 0,01mm genau und berechnen Sie das zugehörige Gesamtvolumen dieser "optim1alen" Kapsel.


_________________________

SO ... wir haben schon das maximal Mögliche Volumen berechnet (es liegt bei 371,69mm³/Kugel)

leider fehlt uns der Durchblick wie wir die 250mm² auf 2 Körper aufteilen sollen und zeitgleich dem einen der Körper maximales Volumen geben sollen.

THX schonmal für die Hilfe.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 470
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 16:50:   Beitrag drucken

Kugeloberfläche(je 2 Halbkuglen) + Zylindermantel = 250

4*r²*pi + r*h*pi = 250 [ r,h in mm ]

daraus r(h) oder h(r) berechnen,

ZylinderVolumen = r²h*pi als V(h) oder V(r)

formulieren ( eben r(h) für r einsetzen oder h(r) für h )

Extrema bestimmen

( Ableitung nach h oder nach r = 0 ),

maximum auswählen ( 2te Ableitung < 0 )

h in r(h) oder r in h(r) einsetzen um anderen Wert zu bekommen.

(seltsam, auf 0,01mm genau - aber kein Wort über die Wandstärke der Kapsel ?
)
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hq5
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 16:54:   Beitrag drucken

hallo , ich gehöre auch zu phillips gruppe,

mit kapsel ist also ein zylinder gemeint der an beiden seiten eine halbe kugel dran hat, also eine art zäpfchen(hihi).

der zylindrische mittelteil soll maximales volumen besitzen bei einer gesamtoberfläche!!
von 250mm²(mit den 2 halbkugeln)

wie muss der radius und die höhe sein , damit das volumen maximal ist

bitte helft uns, unser lehrer macht uns sonst fertig
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hq5
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 17:02:   Beitrag drucken

so ähnlich habe ich die aufgabe gemacht , aber als V(r) kriege ich da raus

V(r)= pi*r² * (250-4pi*r²/2pi*r)

und diese funktion hat gar keine extrem werte und verläuft total komisch
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franz
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 17:09:   Beitrag drucken

das passt schon, du hast nur falsche Klammern gesetzt:

V(r)=pi*r²*(250-4pi*r²)/(2pi*r)

Gruß
Franz
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hq5
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 17:20:   Beitrag drucken

ich hab versucht diese gleichung in eine quadratische umzuformen um dann die ableitung zu bilden , gelingt mir aber nicht , kann mir jemand helfen ?
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duk3 (duk3)
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Benutzername: duk3

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 17:44:   Beitrag drucken

JO .. jetzt sind wir schonmal nen grossen Stück weiter ... wollte nur nochmal Danke sagen ...

also DANKE :-)
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hq5
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 18:04:   Beitrag drucken

ich weiss nicht wie ich jetzt die ableitung von der V(r) formel zustande bringe, kann man das direkt machen oder muss ich erst die formel umändern , kürzen und in eine quadratische gleichung bringen ??? wenn ja ,wie bringe ich die formel in die normalform ?? brauche dringend hilfe , die aufgabe sollen wir bis montag fertig haben und eine präsentation erstellen
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mythos2002 (mythos2002)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 94
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 20:31:   Beitrag drucken

Hi,

mal mit A allgemein durchrechnen, ganz zum Schluß erst 250 einsetzen! Vorteil: 1. Kein Rechner notwendig, 2. Man sieht beim Ergebnis die Größenverhältnisse besser!

A = 4r²*pi + 2r*pi*h .. Nebenbedingung;
daraus h = A/(2r*pi) - 2r, einsetzen -->

V = pi * r²*[A/(2r*pi) - 2r]; pi als konst. Faktor weglassen

V(r) = A*r/(2*pi) - 2r³

Ausser pi weglassen war sonst keinerlei Umformung der Zielfunktion V notwendig, und diese ist recht einfach.

V'(r) = A/(2*pi) - 6r²
V''(r) = -12r < 0 (r > 0), Max.!

V'(r) -> 0
6r² = A/(2*pi)
r² = A/(12*pi)

r = sqrt[A/(12*pi)]
====================

h = A/(2*pi)*sqrt[12*pi/A] - 2*sqrt[A/(12*pi)]
h = sqrt[36*A/(12*pi)] - 2*sqrt[A/(12*pi)]
h = 6*sqrt[A/(12*pi)] - 2*sqrt[A/(12*pi)]

h = 4*sqrt[A/(12*pi)]
======================

Die Höhe ist also 4 x so groß wie der Radius!
Das Gesamtvolumen beträgt hiermit:

V = A/6 * sqrt[A/(3*pi)]
=========================

Für A = 250 mm² einzusetzen, möchte ich dem(n) geneigten Fragesteller(n) selbst überlassen ;-)

Gr
mYthos





(Beitrag nachträglich am 28., September. 2002 von mythos2002 editiert)
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hq5
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 22:20:   Beitrag drucken

danke für deinen beitrag mythos, kannste wenns geht den ausführlichen weg aufschreiben wie du
h rausgekriegt hast , also wie du gekürzt hast ?? ich kriege nämlich
h=(A-4pi*r²)/(2pi*r) raus weiter kann ich nicht kürzen
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mythos2002 (mythos2002)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 97
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 22:36:   Beitrag drucken

Hallo hq5,

das ist relativ einfach:

A = 4r²*pi + 2r*pi*h
h = (A - 4pi*r²)/(2pi*r) .. bis daher hast Du's ja auch!

Und nun beide Summanden durch 2r*pi dividieren, -->
h = A/(2r*pi) - 2r ! Dabei wurde nur der 2. Summand gekürzt.

Gr
mYthos
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hq5
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 22:59:   Beitrag drucken

ich glaube jetzt hab ichs verstanden , DANKE

hatte glaub ich vorher was verwechselt

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