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Marla
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 15:56: | 
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Hallo kann mir jemand bitte helfen?
Gegeben sie die folgende Rohstoffverbrauchsmatrix R:
R =
1;0;1
1;3;2
2;1;0
4;4;4
(Diese vier Zahlenreihen stehen alle untereinander in einer großen Klammer)
wobei das Element r ij (i=1,...4, j= 1,...3) die Anzahl der Mengeneinheiten (ME) des i-ten Rohstoffs angibt, die zur Herstellung einer Mengeneinheit des Produktes P j zur Verfügung stehen muss.
Von den Rohstoffen sind folgende Mengen vorhanden:
R1:7ME
R2:31ME
R3:15ME
R4:56ME
Berechne die ME, die von den Produkten P1,P2 und P3 hergestellt werden können, wenn sämtliche Rohstoffe vollständig verbraucht werden.
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Gegeben sie die Matrix A =
2;3
1;4
Berechne die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren zur Matrix A
Kann mir dabei wohl jemand helfen
Vielen lieben Dank schonmal
Marla |
Ziege
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 18:33: |
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Hallo Maria,
nenne die Rohstoffverbrauchmatrix A
nenne den Rohstoffvektor x
nenne den Produktvektor b
Dann muss gelten Ax = b die bekannte Gleichung aus der Linearen Algebra.
Du findest x indem du die erweiterte Koeffizientenmatrix nach Gauß reduzierst:
1; 0; 1; 7
1; 3; 2; 31
2; 1; 0; 15
4; 4; 4; 56
Man findet:
x = (4; 7; 3)T
Es können 4 ME P1, 7 ME P2 und 3 ME P3 erzeugt werden.
Gruß, Ziege |
Marla
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. September, 2002 - 09:32: |
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Dank Dir,
kann mir nochmal jemand bei Aufg. 2 helfen? |
Van
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. September, 2002 - 21:14: |
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Ein Beispiel dazu gibt es auf http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/HM/HMD/aufgaben01/node536.html |
Marla
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 17:22: |
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Ich habe mir das Beispiel jetzt mal ausgedruck und darauf angewandt aber ich komme nicht darauf:
Da steht beim Eigenwert:
...(1.3)
C..(2-4)
....................(1-lamda...3......)
= pc (lambda) = det (.2... -4-lamda)
= (1-lambda)(-4-lambda)-2.3 = lambda hoch 2 + 3 lambda -1
aber wie schreibe ich das denn jetzt für meine Matrix A
.....(2..3)
A =..(1..4)
Und nochdazu den Eigenvektor?
Marla |
devnull
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. September, 2002 - 21:38: |
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Das charakteristische Polynom pC(l)ergibt sich dort zu:
pC(l) = (1-l)*(-4-l)-2*3
= -4 -l +4l +l² - 6
= l² +3l -10
Das charakteristische Polynom pA(l) lautet für die Matrix A hier:
pA(l) = (2-l)*(4-l) - 1*3
= l² - 6l +5
Einen Eigenvektor schreibt man noch nicht dazu, der kommt erst dazu, nachdem der Eigenwert bereits bekannt ist.
Der Sinn des ganzen ist, Vektoren u=(u1;u2)T zu finden, für die gilt:
A*u = lu <=> (A-lE)*u = 0, mit denen sich diese Gleichung erfüllen lässt:
| / | 2 | 3 | \ | | | | | | / | u1 | \ | | | | | | | | | / | u1 | \ | | | | | | | | | | * | | | | | | | | | | = | | l | | * | | | | | | | | \ | 1 | 4 | / | | | | | | \ | u2 | / | | | | | | | | | \ | u2 | / | |
Die Vektoren u=(u1;u2)T, die die letzte Gleichung erfüllen, heißen dann Eigenvektoren der Matrix A.
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Marla
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. September, 2002 - 09:59: |
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Vielen Dank, aber kannst Du mir noch einmal bei der Rechnung auf die Sprünge helfen?
Marla |
devnull
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. September, 2002 - 15:18: |
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Bei welcher Rechnung meinst du?
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms pA(l) sind gleich den Eigenwerten von A.
Die Eigenvektoren bestimmst du dann analog zu ihrer Bestimmung im Beispiel auf http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/HM/HMD/aufgaben01/node536.html
oder vielleicht etwas nachvollziehbarer:
setze die Eigenwerte in der Gleichung
| / | 2 | 3 | \ | | | | | | / | u1 | \ | | | | | | | | | / | u1 | \ | | | | | | | | | | * | | | | | | | | | | = | | l | | * | | | | | | | | \ | 1 | 4 | / | | | | | | \ | u2 | / | | | | | | | | | \ | u2 | / | |
für l ein und bestimme u1 und u2.
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