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Beitrag |
    
Yvonne
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 16:57: | 
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Kann mir einer helfen?
In einem weit, weit entfernten Land gibt es nur 2 Münztypen. Die 19-Czek-Münze und die 80-Czek- Münze. Meine Lehrerin behauptet, dass man dort etwas, dass 8 oder 98 Czek kostet nicht bezahlen kann.
Nun sollen wir herausfinden:
a) Hat sie recht?
b) Welche ganzzahligen Beträge können bezahlt werden?
P.S.: Unsere Lehrerin sagte, dass etwas auch als bezahlbar gilt, wenn der Verkäufer passend herausgeben kann.
Bitte um Hilfe!
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Erich
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 19:07: |
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Wenn du zu dumm bist, um eine vernünftige Überschrift zu erfinden, dann bleibe doch lieber weiterhin dumm! |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 11:46: |
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Hi Yvonne,
auf der Insel können alle Beträge bezahlt werden.
Es ist:
1=5*80-21*19.
Wenn ich also etwas für 1 Czek kaufe, gebe ich dem Verkäufer 5*80 Czek und er gibt mir 21*19 Czek raus. Dann habe ich genau 1 Czek bezahlt.
Will ich etwas für 8 Czek kaufen, dann multipliziere ich die Gleichung mit 8. Das ergibt:
8=40*80 - 168*19.
Also gebe ich dem Verkäufer 40*80 Czek und er gibt mir 168*19 Czek raus.
Das gleiche Spielchen kann man nun mit jeder beliebigen Zahl bzw. Betrag machen.
gruß clara |
Yopi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 14:49: |
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Hallo clara,
ich wollte gestern auch schon auf diese Aufgabe antworten, aber ich war mir nicht sicher, ob sie nicht vielleicht aus einer Olympiade stammt.
Für 8 Czek hätte ich diesen Vorschlag gehabt:
Mit etwas Übung im Kopfrechnen erkennt man, dass 4 = 80 - 4*19 ist.
Für einen Betrag von 8 Czek also einfach zweimal 4 Czek bezahlen, indem jeweils 80 gegeben und 4*19 zurückgegeben werden.
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 16:59: |
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Hi Yopi,
über schöne Lösungen (schön im Sinne von kleineren Zahlen) habe ich gar nicht nachgedacht. Habe einfach nur festgestellt, dass ggt(19,80)=1 ist und dann findet man mit dem Euklidischen Algorithmus x und y aus den ganzen Zahlen so dass gilt: 1=x*19+y*80.
Sollte man denn Fragen aus einer Olympiade nicht beantworten?
clara |
Yopi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 17:52: |
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hi clara,
dass dies eine Olympiadeaufgabe sein könnte, hatte ich deshalb in Verdacht, weil mir der Stoff für Klasse 12 oder 13 sehr fremd vorkam.
Ob sie aus einem laufenden Wettbewerb stammt, versuche ich ja immer noch rauszukriegen, mir kann aber anscheinend niemand einen Link zu allen aktuellen Aufgaben geben.
Die Antwort auf deine Frage:
"Sollte man denn Fragen aus einer Olympiade nicht beantworten?"
möchte ich nicht allein geben, zum Vergleich verweise ich auf
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/1175/128143.html
Jetzt habe ich noch eine Frage, da ich nicht weiß, wie der Euklidische Algorithmus definiert ist.
1 = x*19 + y*80
[1] (1-y*80)/19 = x
(1-y*4)/19 = x1 mit neuem x1 anstatt x
1 = 19x1 + 4y
[2] (1 - 19x1)/4 = y
(1 - 3x1)/4 = y1 mit neuem y1 anstatt y
1 - 3x1 = 4y1
[3] (1-4y1)/3 = x1
(1- y1)/3 = x2 mit neuem x2 anstatt x1
1 = 3x2 + y1
(1-3x2)/1 = y1
ím Nenner steht eine 1, wähle y1 = 1
wegen [3] (1-4y1)/3 = x1 folgt dann: x1 = -1
wegen [2] (1 - 19x1)/4 = y folgt dann: y = 5
und wegen [1] (1-y*80)/19 = x folgt: x = -399/19 = -21
also
1 = -21*19 + 5*80
War das der Euklidische Algorithmus ?
Gruß
Yopi |
DULL (dull)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 18:25: |
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Hi Yopi,
ich denke, dass die aktuellen olympiade-Aufgaben erst in einer Woche (am 1.10.)veröffentlicht werden. So steht es zumindest auf der Internetseite.
Gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 19:00: |
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Hi Yopi,
der Euklidische Algorithmus ist eine Kette von Divisionen mit Rest mit dem man den ggt zweier Zahlen bestimmen kann. Um die Darstellung des ggt als Linearkombination zu bekommen, rechnet man ihn einfach rückwärts wieder hoch.
Bei der Aufgabe:
80=4*19+4
19=4*4+3
4=1*3+1
Damit hat man: 1=4-1*3=4-1*(19-4*4)=...=5*80-21*19
gruß clara |
Yopi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 21:49: |
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Hallo clara, danke für die Erklärung.
Ich habe das auf
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/24/128151.html#POST112462
nochmal wiedergegeben. Könntest du mal nachsehen, ob ich das richtig gemacht habe?
Ich bin mir etwas unsicher, weil hier ein Spezialfall vorliegt, in dem die 4 doppelt vorkommt.
Gruß
Yopi
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. September, 2002 - 11:07: |
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Hi Yopi,
wenn ich das richtig gesehen habe, hast Du Dich bei der letzten 4 versehen.
Hier noch mal ein anderes kleines Beispiel: ggT(42,34) ermitteln (geht natürlich auch einfach so durch gucken):
42=1*34+8
34=8*4+2
4=2*2
Letzter Rest ungleich 0 ist 2, also ist der ggT(42,34)=2.
Rückwärts hoch rechnen ergibt:
2=5*34-4*42.
Wären also nur solche Münzen vorhanden, könnte man nur geradzahlige Beträge bezahlen.
Mit diesem Verfahren (dem euklidischen Algorithmus) kann man den ggT von beliebigen Zahlen bestimmen und wenn man ihn wieder "hoch rechnet" erhält man eine Linearkombination des ggT's aus den beiden Zahlen.
gruß clara |
Yopi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. September, 2002 - 22:04: |
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Hi clara,
ich danke dir, ich glaube, jetzt hab ichs verstanden:
34=8*4+2 => 2 = 34-8*4
mit Hilfe von 42=1*34+8 macht man dann die 8 weg:
8 = 42-1*34
=> 2 = 34 - (42-1*34)*4
=> 2 = 34 - 42*4 + 34*4
=> 2 = 34*5 - 42*4
Anderes Beispiel:
ggT(270;798)=?
798 = 2*270 + 258
270 = 1*258 + 12
258 = 21*12 + 6
12 = 2*6 + 0
Letzter Rest: 6 = ggT(270;798)
6 = 258 - 21*12
nun die 12 mit 270 = 1*258 + 12 wegmachen:
12 = 270 - 1*258
=> 6 = 258 - 21*(270 - 1*258)
6 = 22*258 - 21*270
nun die 258 mit 798 = 2*270 + 258 wegmachen:
258 = 798 - 2*270
6 = 22*(798 - 2*270) - 21*270
6 = 22*798 - 44*270 - 21*270
6 = 22*798 - 65*270
Yeah!
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