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Beitrag |
    
Juliane Bürke (coola)
Mitglied
Benutzername: coola
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 15:47: | 
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Hey Hallo!
Wir sollen eine vollständige Kurvendiskussion (Definitionsbereich, Symmetrieeigenschaften, Polstellen&Asymptoten, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Graph) bei folgender Funktion machen:
f (x) = x^2 / (x^2-4)
Bis zu den Extrempunkten geht es auch noch relativ gut. Aber ab da ist es für mich irgendwie verwirrend. Kann mir jemand mal erklären, wie es weiter geht und mir mal bitte die "Kurve diskutieren"?
Danke schonmal!
Juliane |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 99
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 16:06: |
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Hi Juliane,
erstmal die Ableitungen nach Quotientenregel:
f (x) = x^2 / (x^2-4)
f'(x)=[2x(x^2-4)-x^2(2x)]/(x^2-4)^2
=[2x^3-8x-2x^3]/(x^2-4)^2
=-8x/(x^2-4)^2
f''(x)=[-8(x^2-4)^2-(-8x)2(x^2-4)2x]/(x^2-4)^4
=[-8(x^2-4)+32x^2]/(x^2-4)^3
=[24x^2+32]/(x^2-4)^3
f'''(x)verkürzt=[48x]/(x^2-4)^3
1.)Definitionsbereich D=IR{-2; 2}
2.) Symmetrie: Zählerfunktion gerade UND Nennerfunktion gerade => f(x) gerade, d.h. symmetrisch zur y-Achse
3.) Nullstellen:
f(x)=0
=> x^2=0
(Doppelte) Nullstelle bei Null N(0/0)
4.) Verhalten an den Definitionslücken:
Bei -2 und 2 liegen Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor
l-lim [x^2]/[(x-2)(x+2)] = inf
x->-2
r-lim [x^2]/[(x-2)(x+2)] = -inf
x->-2
l-lim [x^2]/[(x-2)(x+2)] = -inf
x->2
r-lim [x^2]/[(x-2)(x+2)] = inf
x->2
5.) Asymptotisches Verhalten: Die Asymptote ist
a(x)=1, da Grad(Zähler)=Grad(Nenner), beide Vorfaktoren 1 => a(x)=1/1=1
6.) Extrempunkte
Notw. Bed. f'(x)=0
-8x=0 => x=0
Mögliche Extremstelle bei Null
f''(0)=-1/2<0, also lokaler Hochpunkt bei 0
f(0)=0 => HP(0/0)
7.) Wendepunkte
Notw. Bed. f''(x)=0
=>24x^2+32=0
x^2=-4/3 keine reellen Lösungen => keine Wendepunkte
8.) Graph
Gruß
Peter |
Juliane Bürke (coola)
Mitglied
Benutzername: coola
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 16:14: |
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Hey Peter!
Ich versteh jetzt zumindest annähernd etwas. Aber was unter Punkt 4 steht, kann ich nicht nachvollziehen/"ins Deutsche" übertragen. Was deutet folgendes:"l-lim [x^2]/[(x-2)(x+2)] = inf " ?
Ciao und danke |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 16:25: |
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Hi again,
der linksseitige Grenzwert an der Stelle -2 für den Funktionswert ist "plus unendlich".
Betrachte den Funktionsterm: [x^2]/[(x-2)(x+2)]
Wir überlegen jetzt, was passiert, wenn wir eine Zahl ganz in der Nähe von -2 einsetzen, die aber kleiner ist als -2 (links von -2) ist.
Im Zähler ergibt das ca. 4, in der ersten Klammer im Nenner ca. -4, die zweite Klammer ist die spannende: Dort bleibt eine betraglich sehr kleine Zahl (fast Null) übrig, die aber kleiner als Null ist. So wird der Nenner insgesamt positiv. Der Term strebt also gegen "plus unendlich". Dieselben Überlegungen kann man für die rechte Seite und für die Definitionslücke 2 anstellen. (Falls diese 'abstrakte' Erläuterung nicht alle Fragen klären kann, nimm' dir einfach mal den Taschenrechner und setze für den linksseitigen Grenzwert Zahlen wie -2,01 oder -2,00001 ein, für den rechtsseitigen -1,9999 oder -1,99999999 ein)
Gruß
Peter |
Juliane Bürke (coola)
Mitglied
Benutzername: coola
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 18:14: |
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Hey!
Danke! Ich wusste nur nicht wirklich, was ich mit dem "inf" anfangen sollte. Aber jetzt, wo ich weiß, worum es geht, versteh ich auch das!
danke dir auf jeden Fall schonmal für deine Hilfe!
Bye |
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